Квадрат

[Гост]

Точките M и N лежат съответно на страните BC и CD на квадрата ABCD, като BM=MC и CN=2DN. Намерете градусната мярка на ъгъл MAN.

[S.B.]

Точките M и N лежат съответно на страните BC и CD на квадрата ABCD, като BM=MC и CN=2DN. Намерете градусната мярка на ъгъл MAN.

Без заглавие - 2021-03-13T174043.386.png (190.05 KiB) Прегледано 335 пъти

Нека страната на квадрата е равна на $a$, а $\angle MAN = \varphi $

От [tex]\triangle ABM \rightarrow AM^{2} = \frac{5}{4}a^{2} , AM = \frac{a}{2}\sqrt{5}[/tex]

От $\triangle ADN \rightarrow AN^{2} = \frac{10}{9}a^{2} ,AN = \frac{a}{3}\sqrt{10}$

От $\triangle MNC \rightarrow MN^{2} = \frac{25}{36}a^{2}$

За $\triangle AMN$ прилагам Косинусова теорема:

$cos\varphi = \displaystyle\frac{MN^{2} - AN^{2} - AM^{2}}{- 2.AN.AM} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{25}{36}a^{2} - \displaystyle\frac{10}{9}a^{2} - \displaystyle\frac{5}{4}a^{2}}{- 2.\displaystyle\frac{a}{3}\sqrt{10}.\displaystyle\frac{a}{2}\sqrt{5}} = ............=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$
$$cos\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} , \varphi \in (0 ; 90^\circ) \Rightarrow \angle MAN = \varphi = 45^\circ$$