Вид на триъгълника

[Гост]

За острите ъгли α и β на триъгълник ABC е известно че sinα = 1/3 и cosβ = 2/3. Определете вида на триъгълника според ъглите.

[S.B.]

За острите ъгли α и β на триъгълник ABC е известно че sinα = 1/3 и cosβ = 2/3. Определете вида на триъгълника според ъглите.

[tex]\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \Leftrightarrow \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) \Rightarrow cos\gamma = cos[180^\circ -(\alpha + \beta)] \Leftrightarrow cos\gamma = - cos(\alpha + \beta)[/tex]
$cos\gamma = -cos(\alpha + \beta) = - (cos\alpha.cos\beta - sin\alpha.sin\beta)$

$sin\alpha = \frac{1}{3} \Rightarrow cos\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$cos\beta = \frac{2}{3} \Rightarrow sin\beta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$cos\gamma = - (cos\alpha.cos\beta - sin\alpha.sin\beta) = $
$= - (\frac{2\sqrt{2}}{3}.\frac{2}{3} - \frac{1}{3}.\frac{\sqrt{5}}{3}) = - \frac{1}{9}(4\sqrt{2} - \sqrt{5}) = - \frac{1}{9}(5,56 - 2,23) = - \frac{1}{9}.3,42 = - 0,38 <0$

$cos\gamma = - 0,38 < 0 \Rightarrow \gamma > 90^\circ \Rightarrow$ триъгълникът е тъпоъгълен