Две външно допиращи се окръжности

[Гост]

Окръжност k1 (O1;R) и окръжност k2 (O2;r) се допират външно. Ако тяхна обща допирателна пресича централата на окръжностите под ъгъл от 30°, докажете че R=3r.
Помощ?

[ptj]

Направи си чертеж (добави перпендикуляри от центровете към общата допиеателна) и ще видиш два делтоида. Ъглите в тях са [tex]60 ^\circ,90 ^\circ,90 ^\circ,120 ^\circ[/tex]. От тях може да намериш съотношението на страните им, респективно на радиусите.

[Евва]

(2 начин)
Нека окр.[tex]К_{1 }[/tex] и окр. [tex]К_{2 }[/tex] се допират външно в т.М и общата допирателна пресича централата в т.Р .

Скрит текст: покажи

В моя чертеж точките имат последователност [tex]О_{1 }[/tex] ,М ,[tex]О_{2 }[/tex] ,Р .

Нека общата допирателна се допира до [tex]К_{1 }[/tex] в т.В и до [tex]К_{2 }[/tex] в т.А .
Дадено е [tex]\angle[/tex][tex]О_{2 }[/tex]РА=30[tex]^\circ[/tex]
Разглеждаме правоъгълния [tex]\triangle[/tex][tex]О_{2 }[/tex]РА с [tex]\angle[/tex][tex]О_{2 }[/tex]РА=30[tex]^\circ[/tex] , от 7 клас знаем ,че [tex]О_{2 }[/tex]А=[tex]\frac{ О_{2 }Р }{2}[/tex] т.е. r=[tex]\frac{ O_{2 }P }{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]O_{2 }[/tex]P=2r (1)

По същата логика доказваме,че [tex]O_{1 }[/tex]P=2R (2)
От самия чертеж знаем ,че [tex]O_{1 }[/tex]M=R (3) и M[tex]O_{2 }[/tex]=r (4) .

[tex]O_{1 }[/tex]P=[tex]O_{1 }[/tex]M+M[tex]O_{2 }[/tex]+[tex]O_{2 }[/tex]P

2R=R+r+2r

R=3r