Две задачи от ТУ

[Henz]

В ромб [tex]ABCD[/tex] с остър ъгъл [tex]BAD=\alpha[/tex] ,височината му [tex]BH[/tex] пресича диагонала [tex]AC[/tex] в т.[tex]M[/tex].Ако [tex]sin\alpha =\frac{2}{ 3}[/tex] ,то отношението [tex]BM:MH=?[/tex]

И другата.

Страните на [tex]\Delta ABC[/tex] са [tex]AB=c,AC=b[/tex] и [tex]CB=a[/tex].Вътрешната ъглополовяща на [tex]\angle ACB[/tex]пресича описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност в т.L.Да се намери отношението на лицата на [tex]\Delta ABL[/tex] и [tex]\Delta ABC[/tex].

[martin123456]

1
не става ясно коя е тази височина - [tex]H \in CD[/tex] или [tex]H \in AD[/tex]?

[martin123456]

2
[tex]\angle C = \gamma \Rightarrow \stackrel{\frown}{AL}=\stackrel{\frown}{LA}=\gamma \Rightarrow \angle LAB=\angle ABL=\frac{\gamma}{2}[/tex].
нека [tex]LH \bot AB[/tex]. [tex]\Rightarrow tg\frac{\gamma}{2}=\frac{2LH}{c} \Rightarrow LH=\frac{ctg\frac{\gamma}{2}}{2} \Rightarrow S_{ALB}=\frac{c^2tg\frac{\gamma}{2}}{4}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{ab\sin{\gamma}}{2}=ab\sin{\frac{\gamma}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{S_{ABL}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{c^2tg\frac{\gamma}{2}}{4}}{ab\sin{\frac{\gamma}{2}}\cos{\frac{\gamma}{2}}}=\frac{c^2}{4ab\cos^2{\frac{\gamma}{2}}}=\frac{c^2}{2ab(1+\cos{\gamma})}[/tex].
от кос т-ма [tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\gamma} \Rightarrow \cos{\gamma}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \Rightarrow 1+\cos{\gamma}=\frac{a^2+b^2-c^2+2ab}{2ab}[/tex].
[tex]\Rightarrow \frac{S_{ABL}}{S_{ABC}}=\frac{c^2}{a^2+b^2-c^2+2ab}[/tex]

[martin123456]

1
ще я реша, ако [tex]BH \bot CD[/tex]. другият вариант е аналогичен
[tex]\angle MCH=\angle MCB=\frac{\alpha}{2} \Rightarrow CM[/tex] е ъглополовяща в [tex]\Delta BCH[/tex]. от с-во на ъглополовящата: [tex]\frac{BM}{MH}=\frac{BC}{HC}[/tex]. нека страната на ромба е [tex]a[/tex]. търсим [tex]\frac{a}{HC}[/tex], т.е. [tex]HC[/tex] като функция на [tex]a[/tex]
[tex]\cos^2{\alpha}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9} \Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex]
[tex]\Delta BHC: \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{HC}{a} \Rightarrow HC=\frac{\sqrt{5}a}{3} \Rightarrow \frac{BM}{MH}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}[/tex]

[Henz]

2

нека [tex]LH \bot AB[/tex]. [tex]\Rightarrow tg\frac{\gamma}{2}=\frac{2LH}{c}[/tex]

Само това не го разбирам.Как става това тангенса не трябва ли да е равен на [tex]\frac{LH}{HB }[/tex]

За първата точно това съм имал впредвид.