Трапец

[Гост]

Да се намери радиусът на окръжността, описана около трапец с основи 9 и 3 см и ъгъл при малката основа алфа = 120 градуса.

[Евва]

[tex]\sqrt{21}[/tex] см.

[Гост]

[tex]\sqrt{21}[/tex] см.

То хубаво откривате отговора, но поне ви моля да ми обясните по какъв начин

[mail_dinko]

Вписан четириъгълник означава, че двойките срещуположни ъгли имат сбор 180 [tex]^ \circ[/tex]
Вписаният трапец е винаги равнобедрен.
Спускаме височината DM. Така [tex]\angle DMA = 90 ^\circ[/tex]
В равнобедрения трапец [tex]AM = \frac {a-b}{2}= 3; MB = \frac {a+b }{2} = 6[/tex]
[tex]AD = 2 AM = 6 = CB[/tex] - хипотенуза в правоъгълен триъгълник с ъгъл 30 [tex]^ \circ[/tex]

Два начина за намиране на BD:
- косинусова теорема [tex]DB ^2 = b^2 + CB ^2 - 2b.CB. cos 120 ^\circ \Leftrightarrow DB ^2 = 9 + 36 + 2.3.6. \frac {1}{2} \Leftrightarrow DB ^2 = 9 + 36 + 2.3.6. \frac {1}{2} \Rightarrow DB = \sqrt {63}[/tex]
- или чрез питагоровата теорема намираме [tex]DM = \sqrt {AD ^2 - AM ^2} = \sqrt {27} \Rightarrow DB = \sqrt {DM^2 + MB ^2 } = \sqrt {63}[/tex]
Синусова теорема за [tex]\triangle DCB[/tex]
[tex]\frac {DB}{sin \angle 120 ^\circ } = 2R \Rightarrow R = \frac {DB}{sin \angle 120 ^\circ }= \frac {\sqrt {21} . \cancel { \sqrt {3} }}{ \frac { \cancel {2}. \cancel { \sqrt {3} } }{ \cancel { 2}}}[/tex]

[Евва]

ABCD-трапец (AB||CD) AB=9 см.,CD=3 см.
Теорема Ако трапец е вписан в окръжност ,то той е равнобедрен .
Нека правите AD и ВС се пресичат в т.М .
[tex]\angle[/tex]BAM и [tex]\angle[/tex]ADC са прилежащи [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BAM+[tex]\angle[/tex]ADC=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]BAM=180[tex]^\circ[/tex]-120[tex]^\circ[/tex]=60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]ABM =60[tex]^\circ[/tex] ( защото трапецът е равнобедрен )
([tex]\triangle[/tex]АВМ) Тогава [tex]\angle[/tex]АМВ=180[tex]^\circ[/tex]-60[tex]^\circ[/tex]-60[tex]^\circ[/tex] ;[tex]\angle[/tex]АМВ=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВМ е равностранен т.е.АМ=АВ=9 см.
Лесно се доказва,че и [tex]\triangle[/tex]DCM е равностранен т.е. DM=DC=3 см.

AD=AM-DM=9-3=6 см.
Както вече написаха чрез cos T намираме BD=3[tex]\sqrt{7}[/tex] см. и чрез sin T намираме R=[tex]\sqrt{21}[/tex] см.