Равнобедрен триъгълник

[Гост]

Да се намери периметърът на ровнобедрен триъгълник, ако основата му е 8 см и радиусът на вписаната в него окръжност е 2 корен от 2.

[mail_dinko]

Означаваме бедрото с b
[tex]P = 2b+ 8 \Rightarrow p = \frac {P}{2} = b+4[/tex]
[tex]S=pr = 2 \sqrt {2} (b+4)[/tex]
[tex]S = \sqrt {4^2 .(b+4)(b-4)} = 4 \sqrt {(b-4)(b+4)}[/tex]
[tex]2 \sqrt {2} (b+4) = 4 \sqrt {(b-4)(b+4)}[/tex]
[tex]\sqrt {2} (b+4) = 2 \sqrt {(b-4)(b+4)}[/tex]
[tex]2b^2 +16b +32 = 4(b^2 -16)[/tex]
[tex]2b^2 +16 b + 32 = 4b^2 - 64[/tex]
[tex]2b^2 - 16b - 96[/tex]
[tex]D = 64+ 96.2 = 64 + 192 = 256 = 16^2[/tex]
[tex]b = \frac {8+16}{2} = 12[/tex]
[tex]p = b+ 4 = 16[/tex]
[tex]S = 2 \sqrt {2} .16 = 32 \sqrt {2}[/tex]

[S.B.]

Да се намери периметърът на ровнобедрен триъгълник, ако основата му е 8 см и радиусът на вписаната в него окръжност е 2 корен от 2.

Без заглавие - 2021-05-03T225420.661.png (226.66 KiB) Прегледано 360 пъти

Още един поглед върху задачата:

[tex]CH \bot AB , OM \bot BC[/tex]

[tex]\triangle OMC \approx \triangle HBC \Rightarrow \frac{OM}{BH} = \frac{OC}{BC}[/tex]

Нека [tex]MC = x \Rightarrow OC = \sqrt{ x^{2} + (2 \sqrt{2}) ^{2} } \Leftrightarrow OC = \sqrt{ x^{2} + 8 }[/tex] по Питагорова теорема

[tex]HB = BM = 4[/tex] като допирателни от външна точка [tex]\Rightarrow BC = 4 + x[/tex]

[tex]\frac{OM}{BH} = \frac{OC}{BC} \Leftrightarrow \frac{2 \sqrt{2} }{4} = \frac{ \sqrt{ x^{2} + 8 } }{x + 4} \Leftrightarrow \sqrt{2}(x + 4) = 2 \sqrt{ x^{2} + 8 } \Leftrightarrow[/tex]

[tex]2 (x + 4)^{2} = 4( x^{2} + 8) \Leftrightarrow x^{2} + 8x + 16 = 2 x^{2} + 16 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]x^{2} - 8x = 0 \Leftrightarrow x(x - 8) = 0[/tex]

[tex]x \ne 0 \Rightarrow x = 8 \Rightarrow BC = 12[/tex]

[tex]P = 2.BC + AC \Leftrightarrow P = 24 + 8 \Rightarrow[/tex]
$$P = 32$$