триъгълник

[Гост]

Намерете най-големия ъгъл на триъгълник със страни 1, sinx, cosx.

[mail_dinko]

Тъй като [tex]sin^2 x + cos^2 = 1[/tex]
Предполагам, че е правоъгълен триъгълник, т.е. най-големият ъгъл има мярка 90 градуса.

[Гост]

по-интересната задача е да се докаже, че съществува триъгълник с такива страни (без да се използва Питагор)

[KOPMOPAH]

по-интересната задача е да се докаже, че съществува триъгълник с такива страни (без да се използва Питагор)

Щом страните му са $\sin x$ и $\cos x$, значи $x\in \left(0,\frac {\pi}2\right)$, за да бъдат синусът и косинусът положителни и годни за страни на триъгълник. Тогава остава да се докажат неравенствата $$\sin x+\cos x>1,~~\sin x-\cos x<1$$След повдигане на квадрат на двете страни на първото неравенство:$$\sin^2x+2\sin x \cos x+\cos^2 x>1 \Leftrightarrow 1+2\sin 2x >1 \Leftrightarrow \sin 2x >0$$Последното неравенство е изпълнено за $\forall x$, защото $2x \in \left(0,\pi \right)$.

Аналогично се доказва и второто неравенство за разликата на страните.

[S.B.]

по-интересната задача е да се докаже, че съществува триъгълник с такива страни (без да се използва Питагор)

Без заглавие - 2021-05-24T160555.593.png (259.3 KiB) Прегледано 320 пъти

Дали съществува триъгълник със страни :
[tex]а = \sin x , b = \cos x ,c = 1[/tex] ?
За да съществува трябва да е изпълнено:
$a > 0 , b> 0 , a < b + c, b < a + c , c< a + b$

1) [tex]a > 0 \Leftrightarrow \sin x > 0 \Rightarrow x \in (0 , \pi)[/tex]
2) [tex]b > 0 \Leftrightarrow \cos x > 0 \Rightarrow x \in (- \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2})[/tex]
3) [tex]a + b > c \Leftrightarrow \sin x + \cos x > 1 \Leftrightarrow \sin x + \sin(\displaystyle \frac{ \pi }{2} - x) > 1 \Leftrightarrow 2 \sin \displaystyle\frac{x + \displaystyle \frac{ \pi }{2} - x }{2}\cos \displaystyle \frac{x - \displaystyle \frac{ \pi }{2} + x}{2} > 1 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2\sin \frac{ \pi }{4}\cos(x - \frac{ \pi }{4}) > 1 \Leftrightarrow 2 \frac{ \sqrt{2} }{2}\cos(x - \frac{ \pi }{4}) > 1 \Rightarrow \cos(x - \frac{ \pi }{4})> \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]\cos(x - \frac{ \pi }{4} )> \frac{ \sqrt{2} }{2} \rightarrow - \frac{ \pi }{4} < (x - \frac{ \pi }{4} )< \frac{ \pi }{4} \Rightarrow 0 < x < \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x \in (0 , \frac{ \pi }{2})[/tex]
От [tex]\begin{cases} x \in (0, \pi ) \\ x \in (-\displaystyle \frac{ \pi }{2}, \displaystyle\frac{ \pi }{2})\\x \in (0 , \displaystyle\frac{ \pi }{2} )\end{cases} \Rightarrow x \in (0 , \displaystyle\frac{ \pi }{2})[/tex]
За [tex]x \in (0, \frac{ \pi }{2}) \rightarrow \sin x \in(0, 1) , \cos x \in (0 , 1) \Rightarrow \sin x < 1 + \cos x , \cos x < 1 + \sin x[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle[/tex] със страни [tex]a = \sin x , b = \cos x , c = 1[/tex] съществива за [tex]\forall x \in (0 , \frac{ \pi }{2} )[/tex]

За да определя вида на триъгълника ще приложа Косинусова теорема за най - голямата страна $c = 1$ ,тъй като ъгълът срещу нея [tex]\angle \gamma[/tex] е най голям:
[tex]\cos \gamma = \frac{ c^{2} - a^{2} - b^{2} }{- 2ab} \Leftrightarrow \cos \gamma = \frac{1 - \sin^{2}x - \cos^{2}x }{-2\sin x\cos x} = \frac{0}{-2\sin x\cos x} \Rightarrow \cos \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 90 ^\circ \Rightarrow[/tex] щом най-голямият ъгъл е прав ,то триъгълникът е правоъгълен.