Периметър и ъгли

[Гост]

Вписаната в АВС окр. с център О се допира до ВС в К. Към нея е построена допирателна, успоредна на ъглополовящата АР (Р лежи на ВС), която пресича отсечките АС и ВС съответно в М и N.
а) Докажете, че <МОС =<NОК;
б) Ако лицата на АМNР и АВС се отнасят тъй както 2:7, МN=2 и АМ+РN=6, намерете периметъра на АВС

[Евва]

б) Получих [tex]Р_{АВС }[/tex]=28 .
Греша ли ?

[Гост]

Ева, кво те кара да се съмняваш?

[Евва]

а) Да означим [tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]АСВ=[tex]\gamma[/tex] .
Лесно се доказва ,че [tex]\angle[/tex]МОС=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha }{4}[/tex]-[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex] и [tex]\angle[/tex]NOK=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha }{4}[/tex]-[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]MOC=[tex]\angle[/tex]NOK

б) [tex]Р_{АВС }[/tex]=?
Нека [tex]S_{APNM }[/tex]=2S
[tex]S_{MON }[/tex]+[tex]S_{AOM }[/tex]+[tex]S_{OPN }[/tex]=2S
[tex]\frac{2r}{2}[/tex]+[tex]\frac{(6-x)r}{2}[/tex]+[tex]\frac{xr}{2}[/tex]=2S ( където PN=x )
r=[tex]\frac{S}{2}[/tex] (1)

[tex]S_{APNM }[/tex]=2S
[tex]\frac{(AP+2)r}{2}[/tex]=2S ( прилагаме (1) )
[tex]\frac{(AP+2)S}{2.2}[/tex]=2S
AP=6 (2)

[tex]\frac{ S_{APNM } }{ S_{ABC } }[/tex]=[tex]\frac{2}{7}[/tex]

[tex]\frac{ \frac{(AP+MN)r}{2} }{ \frac{r. P_{ABC } }{2} }[/tex]=[tex]\frac{2}{7}[/tex]

[tex]\frac{AP+2}{ P_{ABC } }[/tex]=[tex]\frac{2}{7}[/tex] (3)

Заместваме (2) в (3) .
[tex]\frac{6+2}{ P_{ABC } }[/tex]=[tex]\frac{2}{7 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]P_{ABC }[/tex]=28