Ортоцентър

[Гост]

В триъгълник ABC H е ортоцентър и AH=5 cm.Ако ъгъл CAB=45 градуса намерете BC .

[Евва]

1 случай [tex]\triangle[/tex]АВС -остроъгълен
Нека СР е височина в [tex]\triangle[/tex]АВС .

Докажи ,че [tex]\triangle[/tex]РВС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]АРН по 2 признак [tex]\Rightarrow[/tex]
ВС=АН т.е. ВС=5 см.

[Евва]

2 случай [tex]\triangle[/tex]АВС ([tex]\angle[/tex]АСВ=90[tex]^\circ[/tex])
Точка Н съвпада с т.С .
[tex]\angle[/tex]АВС=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]АСВ-[tex]\angle[/tex]САВ
[tex]\angle[/tex]АВС=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-45[tex]^\circ[/tex]=45[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВС е равнобедрен т.е. ВС=АС=АН=5 см.

3 случай [tex]\triangle[/tex]АВС -тъпоъгълен ([tex]\angle[/tex]АСВ>90[tex]^\circ[/tex])

Скрит текст: покажи

В този случай точка Н лежи вън от [tex]\triangle[/tex]АВС .

Нека СР е височина в [tex]\triangle[/tex]АВС .
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АРС .
[tex]\angle[/tex]АСР=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]АРС-[tex]\angle[/tex]САР
[tex]\angle[/tex]АСР=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-45[tex]^\circ[/tex]=45[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АРС е равнобедрен т.е. СР=АР
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]РВС и [tex]\triangle[/tex]АРН .
1 СР=АР
2 [tex]\angle[/tex]СРВ=[tex]\angle[/tex]АРН=90[tex]^\circ[/tex]
3 [tex]\angle[/tex]ВСР=[tex]\angle[/tex]НАР ( остри ъгли с взаимноперпендикулярни рамене )
По 2 признак [tex]\triangle[/tex]РВС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]АРН [tex]\Rightarrow[/tex] ВС=АН=5 см.