Трапец и права успоредна на основите му

[Гост]

Продълженията на бедрата $AD$ и $BC$ на трапеца $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ се пресичат в точка $O$. През $O$ е построена права, успоредна на основите му, която пресича продълженията на диагоналите в точки $M$ и $N$. Ако $AB=7$ $cm$ и $CD=3$ $cm$, то намерете дължината на отсечката $MN$.

Нека последователността на точките върху правата през $O$, успоредна на основите на трапеца, от ляво надясно е $M, O$ и $N$ и диагоналите на трапеца се пресичат в т. $P$. Имаме тройка подобни триъгълници $$\triangle ABP\sim \triangle CDP \sim \triangle NMP$$ Написах си всички отношения, които следват от подобията, но не достигнах до нищо, което бихме могли да използваме, за да продължим с решението. Благодаря!

[Евва]

Има и още подобия на триъгълници .

Скрит текст: покажи

Намерих отделно МО и NO .
MN=MO+NO=[tex]\frac{21}{4}[/tex]+[tex]\frac{21}{4}[/tex]=10,5 см.

[Евва]

[tex]\triangle[/tex]АВО[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DCO (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{AO}{DO}[/tex]=[tex]\frac{AB}{DC}[/tex] т.е. [tex]\frac{AO}{DO}[/tex]=[tex]\frac{7}{3}[/tex] ;[tex]\frac{AD+DO}{DO}[/tex]=[tex]\frac{7}{3}[/tex] ;[tex]\frac{AD}{DO}[/tex]+1=[tex]\frac{7}{3}[/tex] ; [tex]\frac{AD}{DO}[/tex]=[tex]\frac{4}{3}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]ABD[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]DOM (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{AB}{OM}[/tex]=[tex]\frac{AD}{DO}[/tex] (ползваме (1))

[tex]\frac{7}{OM}[/tex]=[tex]\frac{4}{3}[/tex] ; OM=[tex]\frac{21}{4}[/tex]
По същия начин намираме ON=[tex]\frac{21}{4}[/tex] .
МN=MO+ON=[tex]\frac{21}{4} +\frac{21}{4}[/tex]=10,5 см.