Отношение на отсечки... Някой може ли да ми обясни?

[Гост]

Добър ден. Може ли някой да ми даде насоки как се решава тази задача? Учил съм пропорционални отсечки, но тази задача въобще не я разбирам... Бих се радвал, ако някой ми обясни. Благодаря много (предварително)!

Условие:

Точката Р е средата на отсечката АВ, a Q е средата на отсечката РВ. Намерете отношението:

а) АР:РQ
б) AQ:AB
в) QB:AB

[ammornil]

Точката Р е средата на отсечката АВ, a Q е средата на отсечката РВ. Намерете отношението:
а) АР:РQ
б) AQ:AB
в) QB:AB
----
Обикновено за да се съставят пропорции или отношения се използва произволна единична мярка, която се бележи с буква. В този случай аз съм използвал х, но може да е всяка буква.

Едно примерно решение има вида:
Нека отсечката АВ е с дължина 4х мерни единици. Тогава точката Р я разделя на две равни часто от по 2х мерни единици. По същия начин точката Q разделя отсечката РВ на две равни части от по х мерни единици.
Можем също да кажем, че AQ = 3x.

Търсените отношения ще имат вида:
[tex]\frac{AP}{PQ}=\frac{2x}{2x} \Rightarrow AP:PQ=1:1[/tex]

[tex]\frac{AQ}{AB}=\frac{3x}{4x} \Rightarrow AQ:AB=3:4[/tex]

[tex]\frac{QB}{AB}=\frac{x}{4x} \Rightarrow QB:AB=1:4[/tex]

Аз избрах цялата отсечка да е с дължина 4х защото условието предполага двукратно разполовяване, което удобно се пресмята от числото 4. Това е прозволен избор. Ето няколко други възможности, които са съшо толкова адекватни. При всички случаи, крайните резултати ще са едни и същи.

Друго примерно решение може да се представи така:
Нека АВ = m. Тогава [tex]AP=PB=\frac{m}{2}, PQ=QB=\frac{m}{4}[/tex]
Търсените отношения ще имат вида:
[tex]\frac{AP}{PQ}=\frac{\frac{m}{2}}{\frac{m}{2}} \Rightarrow AP:PQ=1:1[/tex]

[tex]\frac{AQ}{AB}=\frac{\frac{3m}{4}}{m}=\frac{3m}{4m} \Rightarrow AQ:AB=3:4[/tex]

[tex]\frac{QB}{AB}=\frac{\frac{m}{4}}{m}=\frac{m}{4m} \Rightarrow QB:AB=1:4[/tex]

Друго примерно решение може да се представи така:
Нека АВ = 2p. Тогава [tex]AP=PB=p, PQ=QB=\frac{p}{2}, AQ=\frac{3p}{2}[/tex]
Търсените отношения ще имат вида:
[tex]\frac{AP}{PQ}=\frac{p}{p} \Rightarrow AP:PQ=1:1[/tex]

[tex]\frac{AQ}{AB}=\frac{\frac{3p}{2}}{2p}=\frac{3p}{4p} \Rightarrow AQ:AB=3:4[/tex]

[tex]\frac{QB}{AB}=\frac{\frac{p}{2}}{2p}=\frac{p}{4p} \Rightarrow QB:AB=1:4[/tex]

[tex][/tex]