Да се намерят дължините на отсечките

[Гост]

Триъгълник ABC има страни AB=14 cm, BC=12 cm, CA=16 cm. През пресечната точка на ъглополовящите му е прекарана MN (M принадлежи на AC, N принадлежи на BC), успоредна на AB. Намерете дължините на отсечките AM, MC, BN, NC.

[Евва]

Нека т.О е пресечна точка на ъглополовящите на [tex]\triangle[/tex]АВС .
АМ=х=? BN=y=?

MN||AB [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВАО=[tex]\angle[/tex]АОМ (вътрешно кръстни ъгли)
също [tex]\angle[/tex]ВАО=[tex]\angle[/tex]МАО (АО-ъглополовяща)
тогава [tex]\angle[/tex]АОМ=[tex]\angle[/tex]МАО [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АОМ е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] МО=АМ т.е.МО=х (1)
Аналогично доказваме ,че NO=y (2) .

[tex]\triangle[/tex]ABC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MNC ( 1 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{MN}[/tex]=[tex]\frac{AC}{MC}[/tex]=[tex]\frac{BC}{NC}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \frac{14}{x+y} = \frac{16}{16-x} \\ \frac{16}{16-x} = \frac{12}{12-y} \end{array}[/tex]

Намираме х=АМ=5[tex]\frac{1}{3}[/tex] см. ,y=BN=4 см.
Тогава МС=АС-АМ=16-5[tex]\frac{1}{3}[/tex]=10[tex]\frac{2}{3}[/tex] см. и NC=BC-BN=12-4=8 см.