Търсене на ъгъл

[nikola.topalov]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex], за който [tex]\sphericalangle BAC=60^\circ[/tex] и [tex]\sphericalangle ABC=15^\circ[/tex]. Да се намери [tex]\sphericalangle COH[/tex], където [tex]O[/tex] и [tex]H[/tex] са съответно центърът на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност и ортоцентърът му.

[Гост]

вписваш в окр. с радиус 1 и реално всичко можеш да намериш

a+b+c.png (38.01 KiB) Прегледано 419 пъти

[Гост]

Може и да е вярно, но грозно и нечетливо.

[nikola.topalov]

Моето решение:
Нека радиусът на описаната около триъгълника окръжност е [tex]R[/tex]. От теоремата на Хамилтон имаме [tex]\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}[/tex]. Дължината на вектора [tex]\overrightarrow{OH}[/tex] намираме по формулата [tex]\Vert\overrightarrow{OH}\Vert=\sqrt{(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})}[/tex], откъдето [tex]\Vert\overrightarrow{OH}\Vert=\sqrt{2}R[/tex]. Пресмятаме [tex]\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}R^2[/tex]. Но [tex]\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OH}=\Vert\overrightarrow{OC}\Vert \Vert\overrightarrow{OH}\Vert \cos\phi[/tex], откъдето [tex]\cos\phi=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex] и [tex]\phi=15^\circ[/tex].

[Евва]

Ще разрешат ли използването на теоремата на Хамилтон , ако тази задача е от
кандидатстудентски изпит ?

[nikola.topalov]

Ще разрешат ли използването на теоремата на Хамилтон , ако тази задача е от
кандидатстудентски изпит ?

Не съм сигурен. За всеки случай така бих написал: Нека [tex]G[/tex] е медицентърът на [tex]\triangle ABC[/tex]. От свойствата на правата на Ойлер имаме [tex]\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OH}[/tex]. Понеже [tex]\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})[/tex], то след заместване получаваме [tex]\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}[/tex]...

[Гост]

Вероятно задачата би могла да се реши с използване на тригонометрия (всичко се изразява чрез радиуса на описаната окръжност и ъглите на триъгълника).

[Евва]

(2 начин) Нека R е радиус на описаната окр. и AN ,HM са височини в [tex]\triangle[/tex]ABH .
[tex]\angle[/tex]СОН= [tex]\alpha[/tex]= ?
централният [tex]\angle[/tex]COB=2[tex]\angle[/tex]CAB=120[tex]^\circ[/tex] , [tex]\triangle[/tex]COB е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]OBC=[tex]\angle[/tex]OCB=30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]OBA+[tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]OBC ; [tex]\angle[/tex]OBA+15[tex]^\circ[/tex]=30[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]OBA=15[tex]^\circ[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]АМС намираме [tex]\angle[/tex]АСМ =30[tex]^\circ[/tex] , връхният му [tex]\angle[/tex]HCN=30[tex]^\circ[/tex] , тогава [tex]\angle[/tex]CHN=[tex]\angle[/tex]MHB=60[tex]^\circ[/tex] .
([tex]\triangle[/tex]MBH ) [tex]\angle[/tex]MBH=[tex]\angle[/tex]ABH=180[tex]^\circ[/tex]-(60[tex]^\circ[/tex]+90[tex]^\circ[/tex])=30[tex]^\circ[/tex] , но [tex]\angle[/tex]MBC=15[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]CBH=15[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]HCO=[tex]\angle[/tex]HCN+[tex]\angle[/tex]NCB+[tex]\angle[/tex]BCO=30[tex]^\circ[/tex]+75[tex]^\circ[/tex]+30[tex]^\circ[/tex]=135[tex]^\circ[/tex]
([tex]\triangle[/tex]OBH) [tex]\angle[/tex]OHB=180[tex]^\circ[/tex]-(120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]) -45[tex]^\circ[/tex]=15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex]
[tex]\angle[/tex]CHO=[tex]\angle[/tex]CHB-[tex]\angle[/tex]OHB=60[tex]^\circ[/tex]-(15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex]) =45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
_________________________________________________________________________
sin T за [tex]\triangle[/tex]OBH и [tex]\triangle[/tex]COH

[tex]\begin{array}{|l} \frac{OB}{sin(15 ^\circ+ \alpha ) }= \frac{OH}{sin45 ^\circ } \\ \frac{CO}{sin(45 ^\circ - \alpha ) } =\frac{OH}{sin135 ^\circ } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} OH = \frac{ \frac{R \sqrt{2} }{2} }{sin(15 ^\circ + \alpha) } \\ OH = \frac{ \frac{R \sqrt{2} }{2} }{sin(45 ^\circ- \alpha) } \end{array}[/tex]

sin(15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex])=sin(45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])
Знаем , че [tex]\angle[/tex]OHB=15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]CHO=45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] са остри [tex]\Rightarrow[/tex]
15[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex]=45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
2[tex]\alpha[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]COH=[tex]\alpha[/tex]= 15[tex]^\circ[/tex]