Трапец в който не може да се впише окръжност

[nikola.topalov]

Даден е трапец [tex]ABCD[/tex] [tex](AB||DC)[/tex] с ъгъл между бедрата [tex]60^\circ[/tex], в който не може да се впише окръжност. Да се намери лицето му, ако [tex]AB=10[/tex], [tex]AD=8[/tex] и [tex]DC=3[/tex].

[Гост]

hs.png (24.63 KiB) Прегледано 382 пъти

[S.B.]

Даден е трапец [tex]ABCD[/tex] [tex](AB||DC)[/tex] с ъгъл между бедрата [tex]60^\circ[/tex], в който не може да се впише окръжност. Да се намери лицето му, ако [tex]AB=10[/tex], [tex]AD=8[/tex] и [tex]DC=3[/tex].

Без заглавие - 2021-10-19T114213.155.png (195.17 KiB) Прегледано 365 пъти

[tex]AD \cap BC = M , \angle AMB = 60 ^\circ[/tex]
Подлагам на транслация с вектор[tex]\vec{DC}[/tex] бедрото $AD$ при която [tex]A \rightarrow N , D \rightarrow C[/tex]
За [tex]\triangle NBC[/tex] прилагам Косинусува теорема:
[tex]NB^{2 } = NC^{2 } + BC^{2 } - 2.NC.BC\cos 60 ^\circ \Leftrightarrow 7^{2 } = 8^{2 } + x^{2 } - 2.8.x. \frac{1}{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]x^{2 } - 8x + 15 = 0 ,D = 4 , x_{1,2 } = \frac{8 \pm 2 }{2} \Rightarrow x_{1 } = 5 , x_{2 } = 3[/tex]
От условието,че в трапеца не може да бъде вписана окръжност [tex]\rightarrow 8 + 5 = 10 + 3 \Rightarrow BC \ne 5[/tex]
[tex]8 + 3 \ne 10 + 3 \Rightarrow BC = x_{2 } = 3[/tex]
[tex]S_{NBC } = \frac{NC.BC}{2}\ sin 60 ^\circ = \frac{1}{2}.8.3.\ sin 60 ^\circ = 6 \sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{NBC } = \frac{NB.h}{2}= \frac{7.h}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{7.h}{2 } = 6 \sqrt{3} \Rightarrow h = \frac{12 \sqrt{3} }{7}[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}.h \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{13}{2}. \frac{12 \sqrt{3} }{7} = \frac{78 \sqrt{3} }{7}[/tex]