Допирателни към графика

[nikola.topalov]

Прекарани са две взаимно перпендикулярни допирателни към графиката на функцията [tex]y=x^2[/tex]. Да се намери ординатата на пресечната им точка.

[Nathi123]

Нека едната допирателна към графиката на функцията е t: y = kx+b ; M([tex]x_{0 },y _{0 })[/tex]-е допирната точка на t с графиката на f(x) .
От геометричния смисъл на производна в точка следва,че k=f'(x[tex]_{0 }) = 2x _{0 }[/tex] M[tex]\in[/tex] графиката на f(x)[tex]\Rightarrow y _{0} = x_{0 } ^{2 }[/tex].
[tex]\Rightarrow b=- x_{0 } ^{2 }[/tex]. Аналогично,ако t[tex]_{1 } : y=k _{1 }x+b _{1 }[/tex] e другата допирателна ,перпендикулярна на t с допирна точка Р( [tex]x_{1 },y _{1 })[/tex],получаваме,че b[tex]_{1 }=- x_{1 } ^{2 }[/tex]. От t[tex]\bot t _{1 } \Rightarrow k.k _{1 }=-1 \Leftrightarrow x_{1 } = - \frac{1}{4x _{0} }[/tex]. Двете допирателни
се пресичат ,ако kx+b=k[tex]_{1 }x+b _{1 }[/tex];b[tex]_{1 }=- \frac{1}{16 x_{0 } ^{2 } }; k _{1 }= -\frac{1}{2 x_{0 } }[/tex]
[tex]\Rightarrow (2 x_{0 }+ \frac{1}{2 x_{0 } } )x= x_{0 } ^{2 } - \frac{1}{16 x_{0} ^{2 } } \Rightarrow x= \frac{4 x_{0} ^{2 }-1 }{8 x_{0 } } \Rightarrow y =- \frac{1}{4}[/tex].

[S.B.]

Прекарани са две взаимно перпендикулярни допирателни към графиката на функцията [tex]y=x^2[/tex]. Да се намери ординатата на пресечната им точка.

Без заглавие - 2021-10-21T144902.214.png (606.63 KiB) Прегледано 625 пъти

Още един поглед върху задачата

Нека е дадена параболата [tex]\pi : y = x^{2 }[/tex]
Точките $A$ и $B$ [tex]\in \pi[/tex]
[tex]t_{1 }[/tex] е допирателна към [tex]\pi[/tex] в точка $A$ , а [tex]t_{2 }[/tex] е допирателна към [tex]\pi[/tex] в точка $B$
[tex]t_{1 } \cap t_{2 } = C , t_{1 } \bot t_{2 }[/tex]
[tex]t_{1 }[/tex] и [tex]t_{2 }[/tex] са допирателни от външна точка [tex]\Rightarrow CA = CB \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е равнобедрен и правоъгълен
[tex]y = x^{2 } \Rightarrow y' = 2x[/tex]
От [tex]\begin{cases} y' = 2x \\ y'= \tg \varphi \end{cases} \rightarrow \tg \varphi = 2x[/tex]
където [tex]\varphi[/tex] е ъгълът ,който допирателната сключва с положителната посока на абцисата
[tex]\Rightarrow t_{1 } = \tg 45 ^\circ , t_{2 } = \tg 135 ^\circ[/tex]
[tex]t_{1 } = \tg 45 ^\circ \Leftrightarrow \tg 45 ^\circ = 2x \Leftrightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}, y = ( \frac{1}{2}) ^{2 } = \frac{1}{4}[/tex]
$$\Rightarrow A( \frac{1}{2}; \frac{1}{4} )$$
[tex]t_{2 } = \tg 135 ^\circ \Leftrightarrow \tg 135 ^\circ = 2x \Leftrightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}, y = (- \frac{1}{2}) ^{2 } = \frac{1}{4}[/tex]
$$\Rightarrow B(- \frac{1}{2}; \frac{1}{4})$$
За [tex]\triangle ABC \rightarrow AB = 1,M \in AB, AM = MB = \frac{1}{2} \Rightarrow MC = \frac{1}{2}[/tex]
За точките $M$ и $C$ получаваме: [tex]M(0 ; \frac{1}{4}) , C(0,y)[/tex]
[tex]CM = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{4} - y = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \Rightarrow y = - \frac{1}{4}[/tex]
$$\Rightarrow C(0 ; - \frac{1}{4}) $$