Окръжност

[nikola.topalov]

През точка [tex]M[/tex], външна за окръжност [tex]k[/tex], са прекарани допирателна [tex]MT[/tex] към [tex]k[/tex] и секуща, която пресича [tex]k[/tex] в точките [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] ([tex]B[/tex] е между [tex]A[/tex] и [tex]M[/tex]). Да се намери отношението [tex]BM:MT[/tex], при условие че [tex]AB=BM+MT[/tex].

[Nathi123]

От свойство на допирателна и секуща през т.М за окръжността получаваме,че MT[tex]^{2 }=MB.MA;MA=MB+AB;AB=MB+MT \Rightarrow[/tex]
MT[tex]^{2 }=MB(MB+MB+MT) \Leftrightarrow MT ^{2 }=2MB ^{2 }+MB.MT \Leftrightarrow 2MB ^{2 }+MB.MT-MT ^{2 } =0[/tex].(1)
Да означим [tex]\frac{MB}{MT}=x;x>0[/tex] Делим двете страни на равенство (1) на MT[tex]^{2 }>0[/tex] и получаваме уравнение за х :
2[tex]x^{2 }+x-1=0[/tex] с корени x=-1и x=[tex]\frac{1}{2}[/tex]; x=-1- не е решение [tex]\Rightarrow \frac{MB}{MT}= \frac{1}{2}[/tex].