Аналитична геометрия в равнината

[Гост]

Здравейте,
бихте ли ми помогнали с решението на следната задача:

Дадени са четири точки в равнината:
А(3,-3), В(6,2), С(-1,4), D(-5,4);
Да се намерят координатите на пресечната точка Р на правите АВ и CD.

Благодаря предварително!

[ammornil]

Отсечките може да не се пресичат директно, но правите, на които отсечките лежат, може да се пресичат в равнината, която тези прави определят.

Уравнение на права, минаваща през две дадени точки [tex]A_{1}(x_{1},y_{1})[/tex] и [tex]A_{2}(x_{2},y_{2})[/tex], може да се определи от равенството: [tex]\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}[/tex]
Това равенство може да се преобразува във вид на функция от типа [tex]y=f(x)[/tex] и ще има вида [tex]y = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x+(x_{2}-x_{1})y_{1}-(y_{2}-y_{1})x_{1}[/tex].
На практика обаче ние използване следния вид на равенството за права минаваща през две точки: [tex]l_{_{A_{1}A_{2}}}: y-y_{1}-\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}(y_{2}-y_{1})=0[/tex]

За да намерим пресечната точка на две прави, записваме уравненията на двете прави в система и решаваме системата за да намерим координатите на точка, която удовлетворява едновременно и двете прави.
В твоя случай ще имаме системата:
[tex]\begin{array}{|l} l_{_{AB}}: y-y_{_{A}}-\frac{x-x_{_{A}}}{x_{_{B}}-x_{_{A}}}(y_{_{B}}-y_{_{A}})=0 \\ \ \\ l_{_{CD}}: y-y_{_{C}}-\frac{x-x_{_{C}}}{x_{_{D}}-x_{_{C}}}(y_{_{D}}-y_{_{C}}) = 0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} y-(-3)-\frac{x-3}{6-3}(2-(-3)) =0 \\ \ \\ y-4-\frac{x-(-1)}{-5-(-1)}(4-4) = 0 \end{array}[/tex]
Веднага се вижда, че второто уравнение дава у=4. Заместваме в първото, преобразуваме и намираме координатата х на пресечната точка на двете прави.
[tex]\begin{array}{|l} 4+3-5\frac{x-3}{3} =0 \\ y=4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 21-5(x-3) =0 \\ y=4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 21-5x+15) =0 \\ y=4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}x=\frac{36}{5}=7\frac{1}{5} \\ y=4 \end{array}[/tex]

Дадените прави се пресичат в точка [tex]P \left( 7\frac{1}{5};4 \right)[/tex],

Можем да си зададем въпроса: Лежи ли точката P върху отсечките или извън тях ( с други думи, дали отсечките AB и DC имат обща точка или не)?
За да лежи една точка на дадена отсечка, точката трябва да лежи на същата права като краищата на отсечката, и нейната х координата трябва да е меьду координатите х на краищата на отсечката.

Ние вече знаем, че точката М лежи на правите, определени от тези отсечки.
Знаем от условието, че [tex]x_{A}<x_{B}[/tex] и [tex]x_{D}<x_{C}[/tex]затова остава само да проверим изпълнени ли са двойката ограничения:
[tex]\begin{array}{|l} x_{A}<x_{P}<x_{B} \\ x_{D}<x_{P}<x_{C}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 3 < 7\frac{1}{5} \cancel{<} 6 \\ -5 <7\frac{1}{5} \cancel{<}-1\end{array}[/tex]
Виждаме, че точката не лежи на нито една от отсеките, защото ников от условията не е изпълнено.
Можем да кажем, че отсечките не се пресичат, но продълженията им се пресичат в точкатаP.
(графично доказателство приложен по-долу)
[tex][/tex]