Правоъгълен триъгълник - екстремална задача

[nikola.topalov]

Даден е правоъгълен триъгълник с хипотенуза [tex]c[/tex] и периметър [tex]P[/tex]. Докажете, че [tex]P[/tex] не надминава [tex](\sqrt{2}+1)c[/tex].

[vezni]

Нека катетите са $a$ и $b$. От неравенството между средно аритметично и средно квадратично имаме
$\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{\frac{c^2}{2}}=\frac{\sqrt{2}c}{2}\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2}c$.
Следователно $P=a+b+c\le\sqrt{2}c+c=\left(\sqrt{2}+1\right)c$.
Равенство има, когато в неравенството между средно аритметично и средно квадратично има равенство, тоест при $a=b$ (равнобедрен правоъгълен триъгълник).

[pal702004]

$a=c\sin{\alpha},\; b=c\cos{\alpha},\;\;sin{\alpha},cos{\alpha}>0$

$P=c(1+\sin{\alpha}+cos{\alpha}) \le c(1+\sqrt 2)$

$\sin{\alpha}+\cos{\alpha}<\sqrt 2$

Нататък кой както иска, повдигане на квадрат със синус на удвоен ъгъл, или умножение на $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ с последваща синус от сбор, или производна, на който му е кеф...