Трапец

[nikola.topalov]

Потребителят S.B. сподели една страхотна задача за намиране на лице на трапец, благодарение на която се сетих за една подобна на нея, също толкова интересна: [tex]ABCD[/tex] ([tex]AB\parallel DC[/tex]) е трапец, за който разстоянията от пресечната точка на диагоналите му до средите на [tex]AB[/tex], [tex]BC[/tex], [tex]CD[/tex] и [tex]DA[/tex] са съответно равни на [tex]14[/tex], [tex]6.5[/tex], [tex]7[/tex] и [tex]7.5[/tex]. Да се намери лицето на трапеца.

[Гост]

.

[Евва]

Получих [tex]S_{ABCD }[/tex]=252 .

[S.B.]

Потребителят S.B. сподели една страхотна задача за намиране на лице на трапец, благодарение на която се сетих за една подобна на нея, също толкова интересна: [tex]ABCD[/tex] ([tex]AB\parallel DC[/tex]) е трапец, за който разстоянията от пресечната точка на диагоналите му до средите на [tex]AB[/tex], [tex]BC[/tex], [tex]CD[/tex] и [tex]DA[/tex] са съответно равни на [tex]14[/tex], [tex]6.5[/tex], [tex]7[/tex] и [tex]7.5[/tex]. Да се намери лицето на трапеца.

Без заглавие - 2021-11-30T092845.818.png (280.91 KiB) Прегледано 320 пъти

$ M , N , P , Q$ - среди съответно на $AD,AB,BC,CD$ , а [tex]AC \cap BD = O[/tex]
[tex]MPNQ[/tex] е успоредник (лесно се доказва със средни отсечки)
[tex]S_{ABCD } = 2 S_{MNPQ } \Leftrightarrow S_{ABCD } = 4 S_{NPQ }[/tex]
$MP$ е средна основа в трапеца [tex]MP \cap NQ = K \Rightarrow QK = KN = \frac{NQ}{2} = \frac{14 + 7}{2} = 10,5[/tex]
$QO = 7 , OK = 3,5$
Търся [tex]S_{MPO }:[/tex]
$OK = 3,5$ е медиана.
Построявам т.$L$ ,така,че $ OL = 2OK = 2.3,5 = 7$ [tex]\Rightarrow LN = 7[/tex]
[tex]\triangle OLP[/tex] е равнолицев с [tex]\triangle OMP[/tex]
За [tex]\triangle OLP[/tex] прилагам Херонова формула
$p = 10,5$
[tex]S_{OLP } = \sqrt{10,5.4.3.3,5} = \sqrt{5.3.0,7.4.3.5.0,7} = \sqrt{ 5^{2 } . 3^{2 }. 2^{2 } . 0,7^{2 } } \Rightarrow S_{OLP } = 21[/tex]
[tex]S_{QOP } = S_{LNP } = S_{OLP } = 21[/tex] (триъгълниците имат обща височина и равни основи)
[tex]\Rightarrow S_{NPQ } = 3.21= 63[/tex]
[tex]S_{ABCD } = 4. S_{NPQ } = 4.63 \Rightarrow[/tex]
$$S_{ABCD } = 252$$

[Евва]

За удобство ще ползвам чертежа на S.B.
Означаваме MN=PQ=x ,NP=MQ=y ,[tex]\angle[/tex]MOQ=[tex]\alpha[/tex] ,[tex]\angle[/tex]NOP=[tex]\beta[/tex] .

Скрит текст: покажи

4 пъти прилагаме cos T .

[tex]x^{2 }[/tex]=[tex]14^{2 }[/tex]+[tex]7,5^{2 }[/tex]-2.14.7,5cos(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])
[tex]x^{2 }[/tex]=[tex]7^{2 }[/tex]+[tex]6,5^{2 }[/tex]-2.7.6,5cos(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex])
[tex]y^{2 }[/tex]=[tex]7^{2 }[/tex]+[tex]7,5^{2 }[/tex]-2.7.7,5cos[tex]\alpha[/tex]
[tex]y^{2 }[/tex]=[tex]14^{2 }[/tex]+[tex]6,5^{2 }[/tex]-2.14.6,5cos[tex]\beta[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x^{2 } = 252,25+210cos \alpha \\ x^{2 } = 91,25+91cos \beta \\ y^{2 }=105,25-105cos \alpha \\ y^{2 } =238,25-182cos \beta \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 252,25+210cos \alpha = 91,25+91cos \beta \\ 105,25-105cos \alpha = 238,25-182cos \beta |.2 \end{array}[/tex]
252,25+210cos[tex]\alpha[/tex]+210,5-210cos[tex]\alpha[/tex]=91,25+91cos[tex]\beta[/tex]+476,5-364cos[tex]\beta[/tex]

cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{5}{13}[/tex] , тогава cos[tex]\alpha[/tex]= - [tex]\frac{3}{5}[/tex]
Лесно намираме sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] и sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{12}{13}[/tex]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=2[tex]S_{MNPQ }[/tex]=2( [tex]S_{MNO }[/tex]+[tex]S_{NPO }[/tex]+[tex]S_{OPQ }[/tex]+[tex]S_{MOQ }[/tex] )=

=2( [tex]\frac{7,5.14. \frac{4}{5} }{2}[/tex]+[tex]\frac{6,5.14. \frac{12}{13} }{2}[/tex]+[tex]\frac{6,5.7. \frac{12}{13} }{2}[/tex]+[tex]\frac{7,5.7. \frac{4}{5} }{2}[/tex] )= ...

=84+84+42+42= 252
[tex]S_{ABCD }[/tex]=252