Равни ъгли

[nikola.topalov]

Даден е триъгълник [tex]ABC[/tex], в който ъглополовящата [tex]BL[/tex] ([tex]L\in AC[/tex]) е равна на страната [tex]AB[/tex]. Върху отсечката [tex]BL[/tex] е избрана точка [tex]M[/tex], така че [tex]AM=CL[/tex]. Докажете, че [tex]\sphericalangle AML=\sphericalangle BCL[/tex].

[Гост]

4-ti priznak

4p.png (30.37 KiB) Прегледано 303 пъти

[Евва]

Хрумна ми кратко решение чрез -ротация с център т.В и положителен ъгъл [tex]\frac{ \beta }{2}[/tex] .
Според класически чертеж [tex]\triangle[/tex]LBC[tex]\rightarrow[/tex][tex]\triangle[/tex]ABP .
Боя се , че няма да мога да опиша идеята точно.

[nikola.topalov]

Страхотна идея. И моето решение е с ротация. Означаваме си [tex]\sphericalangle ABL=\sphericalangle LBC=\beta[/tex] и разглеждаме [tex]\rho(B,-\beta)[/tex], при която [tex]L\to L'[/tex] и [tex]M\to M'[/tex], като очевидно [tex]L'\in BC[/tex] и [tex]M'\in BL'[/tex]. Следователно [tex]AL\to LL'[/tex] и [tex]AM\to LM'[/tex], откъдето и [tex]AM=LM'=CL[/tex] и [tex]AL=LL'[/tex] от свойствата на ротацията. Понеже [tex]\triangle ABL\to \triangle LBL'[/tex] и [tex]BM\to BM'[/tex], то следователно [tex]LM=L'M'[/tex]. Това означава, че [tex]\triangle AML\cong \triangle LM'L'[/tex] и [tex]\sphericalangle AML=\sphericalangle LM'L'=\sphericalangle M'CL[/tex] от равнобедрения [tex]\triangle LM'C[/tex].