Триъгълник образуван от трите ъглополовящи

[Здравко 99]

20211220_141458.jpg (209.08 KiB) Прегледано 352 пъти

Моля ви помогнете!
Не знам как да подходя към задачата

[pipi langstrump]

Подходи с рогата напред. Намери лицата на 3те триъгълника около търсения (чрез abc и S) и ги извади от лицето на АВС.

[Евва]

Нека A[tex]L_{3 }[/tex]=m ,C[tex]L_{1 }[/tex]=x ,C[tex]L_{2 }[/tex]=t
A[tex]L_{1 }[/tex] е ъглопол. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{x}{a-x}[/tex]=[tex]\frac{b}{c}[/tex] ; x=[tex]\frac{ab}{b+c}[/tex]

По същия начин намираме m=[tex]\frac{bc}{a+b}[/tex] и t=[tex]\frac{ab}{a+c}[/tex] .

[tex]\frac{bc.sin \alpha }{2}[/tex]=S [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2S}{bc}[/tex]

[tex]S_{AL3L2 }[/tex]=[tex]\frac{A L_{3 }.A L_{2 }.sin \alpha }{2}[/tex] = [tex]\frac{ \frac{bc}{a+b} ( \frac{b}{1}- \frac{ab}{a+c} ) \frac{2S}{bc} }{2}[/tex] = ... =[tex]\frac{S.bc}{(a+b)(a+c)}[/tex]

По същия начин намираме [tex]S_{L3BL1 }[/tex]= [tex]\frac{S.ac}{(a+b)(b+c)}[/tex] и [tex]S_{L2L1C }[/tex]=[tex]\frac{S.ab}{(a+c)(b+c)}[/tex] .

_____________________________________________________________________________________________________________

[tex]S_{L1L2L3 }[/tex]= S- [ [tex]\frac{Sbc}{(a+b)(a+c)}[/tex]+[tex]\frac{Sac}{(a+b)(b+c)}[/tex]+[tex]\frac{abS}{(a+c)(b+c)}[/tex] ] =

=S-S.[tex]\frac{bc(b+c)+ac(a+c)+ab(a+b)}{(a+b)(b+c)(a+c)}[/tex] =

=[tex]\frac{S(a+b)(b+c)(a+c) -S( b^{2 }c+b c^{2 }+ a^{2 }c+a c^{2 }+ a^{2 }b+a b^{2 } )}{(a+b)(b+c)(a+c)}[/tex] = ... =

=2S.[tex]\frac{abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}[/tex]