Две екстремални задачи

[nikola.topalov]

[tex]1[/tex]. Даден е триъгълник със страни [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex]. Ако [tex]\sphericalangle(a,b)=\gamma[/tex], да се докаже, че $$c\geq 2\sqrt{ab}\sin\dfrac{\gamma}{2}$$ Примерно решение:

Скрит текст: покажи

С косинусова теорема установяваме, че $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma=(a+b)^2-2ab(1+\cos\gamma)$$ Отделно използваме неравенството $$\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\iff (a+b)^2\geq 4ab$$ което е в сила, понеже [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са положителни числа. И така $$c^2\geq 4ab-2ab(1+\cos\gamma)=4ab\sin^2\dfrac{\gamma}{2}\iff c\geq 2\sqrt{ab}\sin\dfrac{\gamma}{2}$$

[tex]2[/tex]. Даден е триъгълник със страни [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex]. Ако лицето му е [tex]S[/tex], да се докаже, че $$a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$$ Примерно решение:

Скрит текст: покажи

Нека [tex]\sphericalangle(a,b)=\gamma[/tex]. Тогава е изпълнена е системата $$\begin{array}{|l} c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \\ S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma \end{array}\iff \begin{array}{|l} c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma \\ 4\sqrt{3}S=2\sqrt{3}ab\sin\gamma \end{array}$$
Тогава $$a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S=2a^2+2b^2-2ab(\cos\gamma+\sqrt{3}\sin\gamma)=2a^2+2b^2-4ab\cos(\gamma-60^\circ)$$ Тъй като [tex]-4ab\cos(\gamma-60^\circ)\geq -4ab[/tex], то $$a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S\geq 2a^2+2b^2-4ab=2(a-b)^2\geq 0 \implies a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$$

[pipi langstrump]

[tex]2[/tex]. Даден е триъгълник със страни [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex]. Ако лицето му е [tex]S[/tex], да се докаже, че $$a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$$

Кога се достига равенство?

[Евва]

1. ( 2 начин )
Разглеждам [tex]\triangle[/tex]АВС , при който a[tex]\ge[/tex]b .
a-b[tex]\ge[/tex]0
[tex](a-b)^{2 }[/tex][tex]\ge[/tex]0
[tex]c^{2 }[/tex]+[tex]a^{2 }[/tex]-2ab+[tex]b^{2 }[/tex][tex]\ge[/tex][tex]c^{2 }[/tex]+0
[tex]c^{2 }[/tex][tex]\ge[/tex]2ab-([tex]a^{2 }[/tex]+[tex]b^{2 }[/tex]-[tex]c^{2 }[/tex]) |: 2ab[tex]\ne[/tex]0

[tex]\frac{ c^{2 } }{2ab}[/tex][tex]\ge[/tex]1-[tex]\frac{ a^{2 }+ b^{2 }- c^{2 } }{2ab}[/tex]

[tex]\frac{ с^{2 } }{2ab}[/tex][tex]\ge[/tex]1-cos[tex]\gamma[/tex]

[tex]\frac{ c^{2 } }{2ab}[/tex][tex]\ge[/tex]2[tex]sin^{2 }[/tex][tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]

[tex]c^{2 }[/tex][tex]\ge[/tex]4ab.[tex]sin^{2 }[/tex][tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]

c[tex]\ge[/tex]2[tex]\sqrt{ab}[/tex].sin[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]

Равенство ще се достигне при a=b .

2 зад. Мисля ,че равенство ще се достигне при равностранен триъгълник .