Уравнение на окръжност

[Гост]

Не съм сигурен точно какво се иска от мен, аз се опитах да намеря 2те общи точки, защото щом имат обща хорда значи окръжностите трябва да се пресичат нали?

[ammornil]

Не съм сигурен точно какво се иска от мен, аз се опитах да намеря 2те общи [tex][/tex]точки, защото щом имат обща хорда значи окръжностите трябва да се пресичат нали?

Правилно сте се насочили. За да определим уравнението на търсената окръжност ни трябват център и радиус.
Пресечните точки на дадените окръжности (ако има такива) са решенията на системата:
[tex]\begin{array}{|l}x^{2}+y^{2}+4x-4y-2=0\\ x^{2}+y^{2}-2x+2y-14=0 \end{array}[/tex]
Ако извадим второто равенство почленно от първото получаваме:
[tex]\begin{array}{|l}x^{2}+y^{2}+4x-4y-2=0\\ 6x-6y+12=0 |:6\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}x^{2}+y^{2}+4x-4y-2=0\\ x=y-2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}(y-2)^{2}+y^{2}+4(y-2)-4y-2=0\\ x=y-2 \end{array}[/tex]
Решаваме първото уравнението за [tex]y[/tex]: [tex]y^{2}-4y+4+y^{2}+4y-8-4y-2=0 \Leftrightarrow 2y^{2}-4y-6=0 |:2 \Leftrightarrow y^{2}-2y-3=0 \Rightarrow y_{_{1,2}}=\frac{1\pm\sqrt{1^{2}-1.(-3)}}{1}=\frac{1\pm2}{1} \Rightarrow \begin{cases} y_{_{1}}=-1 \\ y_{_{2}}=3 \end{cases}[/tex]
Намираме съответните стойности на [tex]x[/tex] и получаваме, че дадените окръжности се пресичат в две точки [tex]A(-3;-1)[/tex] и [tex]B(1;3)[/tex]. Следователно, търсената хорда съществува.
Дължината на хордата е [tex]\bar{AB}=\sqrt{(-3-1)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2} \Rightarrow[/tex] радиусът на търсената окръжност е [tex]R=\frac{\bar{AB}}{2}=2\sqrt{2}[/tex]

Правата определена от [tex]AB[/tex] има уравнение:
[tex]\frac{x-x_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{B}-y_{A}} \Leftrightarrow(y_{B}-y_{A})(x-x_{A}) - (x_{B}-x_{A})(y-y_{A})=0\Leftrightarrow (3-(-1))(x-(-3))-(1-(-3))(y-(-1))=0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 4(x+3)-4(y+1)=0 \Leftrightarrow 4x+12-4y-4=0 \Leftrightarrow 4x-4y+8=0[/tex]

Центърът на търсената окръжност e точка [tex]O(x_{O},y_{O})[/tex], лежаща на правата определена от [tex]AB[/tex] и е средата на отсечка [tex]AB[/tex]. За координатите на центъра можем да съставим системата:
[tex]\begin{array}{|l} 4x_{O}-4y_{O} =-8 \\ \sqrt{(x_{A}-x_{O})^{2}+(y_{A}-y_{O})^{2}}=2\sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{O}=y_{O}-2 \\ \sqrt{(-3-x_{O})^{2}+(-1-y_{O})^{2}}=2\sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{O}=y_{O}-2 \\ \sqrt{(3+y_{O}-2)^{2}+(1+y_{O})^{2}}=2\sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{O}=y_{O}-2 \\ \sqrt{(1+y_{O})^{2}+(1+y_{O})^{2}}=2\sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{O}=y_{O}-2 \\ \sqrt{2(1+y_{O})^{2}}=2\sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{O}=y_{O}-2 \\ 2(1+y_{O})^{2}=8\end{array}[/tex]

От второто уравнение получаваме: [tex]1+2y_{O}+y_{O}^{2}=4 \Rightarrow y_{O}^{2}+2y_{O}-3=0[/tex], откъдето [tex]y_{O}=-1\pm2 \Rightarrow \begin{cases} y_{_{1}}=-3 \\ y_{_{2}}=1 \end{cases}[/tex].
Получаваме за [tex](x_{O};y_{O})[/tex] две решения [tex](-5;-3), (-1;1)[/tex].
Понеже [tex]O[/tex] лежи между [tex]A(-3;-1)[/tex] и [tex]B(1;3) \Rightarrow x_{A}<x_{O}<x_{B},[/tex] което е изпълнено за двойката [tex](-1;1) \Rightarrow x_{O}=-1, y_{O}=1[/tex].

Имаме [tex]k(O,R) \Rightarrow k: R^{2}=(x-x_{O})^{2}+(y-y_{O})^{2} \Rightarrow (x-(-1))^{2}+(y-1)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}=0 \Leftrightarrow x^{2}+2x+1+y^{2}-2y+1-8=0[/tex]

Търсеното уравнение е: [tex]k: x^{2}+y^{2}+2x-2y-6=0[/tex]

220204_001.png (47.92 KiB) Прегледано 268 пъти

--
Прегледай сметките за изчислителни грешки, но според мен методът е този.