Лице на трапец

[nikola.topalov]

Периметърът на трапеца [tex]ABCD[/tex] е [tex]22[/tex], отсечката, свързаща средите на основите [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] има дължина [tex]5[/tex], а правите [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] са взаимно перпендикулярни. Ако лицето на трапеца е [tex]S[/tex], да се докаже, че [tex]S<11[/tex].

[Davids]

ТрапецОтсечкаСредиПериметърЛице.png (22.27 KiB) Прегледано 294 пъти

Хубава задачка, заслужаваше си и едно хубаво решение, барем и с чертежа... пък и опреснихме малко училищните техники.

Като за начало сме означили половината на $CD$ с $x$.
След това спускаме от $M$ двете успоредни прави от чертежа: $MA' || AD$ и $MB' || BC$. Като директно следствие от получените успоредници получаваме, че $AA' = BB' = x$, както и $A'M = AD =: c$ и $B'M = BC =: d$.
Освен това получихме правоъгълен $\triangle A'B'M$ (от дадената перпендикулярност по условие: $AD \bot BC$).
А понеже по условие (и по построение) $AN = NB$, то и $A'N = NB'$, понеже от двата края сме извадили равната дължина $x$.
Оттам и $MN$ е медиана в правоъгълния $\triangle A'B'M$, тоест $5 = MN = A'N = B'N$.
И като формален завършек, нека въведем и стандартното означение на височината $h$ на трапеца (а оттам и на $\triangle A'B'M$), макар и да отсъства на чертежа като по-скоро алгебричен елемент.

Та да пристъпим и към по-алгебричната част:
1) от дадения периметър имаме $22 = P = 4x + 10 + c + d \Longrightarrow c + d = 4(3 - x)$
Оттук можем да изведем първото ограничение: понеже $c + d > 0$ като сбор от двете дължини на ребрата, то $x \in (0, 3)$.
2) от $S_{A'B'M}$ получаваме зависимостта $cd = 10h$
3) от питагорова теорема за същия триъгълник получаваме $c^2 + d^2 = 100$

Повдигайки 1) на квадрат, получаваме:
$(c+d)^2 = 16(3-x)^2$

Но от друга страна, разписвайки формулата, имаме също:
$(c+d)^2 = c^2 + d^2 + 2cd = 100 + 20h$

Приравнявайки двете десни страни, достигаме до:
4) $h = \frac{4}{5}(3-x)^2 - 5 = \dots = \frac{1}{5}(4x^2 - 24x + 11)$

И понеже по аналогични съображения $h > 0$, то оттук получаваме допълнителното ограничение $x \notin \left(\frac{1}{2}, \frac{11}{2}\right)$.
Комбинирано с първото, това ни дава краен дефиниционен интервал $x\in \left(0, \frac{1}{2}\right)$.

И сега като финален щрих: целта на всичко това беше да сведем лицето на трапеца до фукция на една променлива:
$S(x) = \frac{AB + CD}{2}h = \frac{4x+10}{2}h = \frac{1}{5}(2x+5)(4x^2 - 24x + 11) = \frac{1}{5}(8x^3 - 28x^2 - 98 x + 55)$

Сега остана да направим късо изследване за НГС и НМС в интервала, който ни интересува, а именно $x\in \left(0, \frac{1}{2}\right)$. За целта нека се отървем от константния множител и разгледаме само функцията
$f(x) := 8x^3 - 28x^2 - 98 x + 55$
$f'(x) = 24x^2 - 56x - 98 = 2 (6 x + 7) (2 x - 7)$

Оттук ясно се вижда, че за $x\in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ производната има отрицателен знак, значи $f$ намалява строго. Оттам $\max\limits_{ x\in\left(0, \frac{1}{2}\right)}f(x) = f(0) = 55$

И вече тривиално следва, че $S(x) < 11$. С което решението на тази прекрасна задачка приключва.

[nikola.topalov]

Голямо удоволствие ми достави да чета Вашето решение. Браво!