Теорема

[Здравко 99]

Здравейте
Как да докажа тази теорема
Срещу по - голям ъгъл лежи по - голяма страна .

[S.B.]

Здравейте
Как да докажа тази теорема
Срещу по - голям ъгъл лежи по - голяма страна .

Без заглавие - 2022-03-18T165004.267.png (273.77 KiB) Прегледано 409 пъти

Имаш 2 теореми,които са свързани:

Т1: В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по- голям ъгъл
Дадено: [tex]\triangle ABC,BC > AC[/tex]
Ще докажем: [tex]\angle A > \angle B[/tex]
Доказателство:
От [tex]BC > AC \rightarrow[/tex] съществува т.[tex]D \in BC, CD = AC , \angle 1 = \angle 2[/tex]
Лъчът $AD$ е вътрешен за [tex]\angle BAC \Rightarrow \angle A > \angle 1[/tex]
[tex]\angle 2[/tex] е външен за [tex]\triangle ABD \Rightarrow \angle 2> \angle B[/tex]

[tex]\begin{cases} \angle А > \angle 1\\ \angle 1 = \angle 2\\ \angle 2> \angle B\end{cases} \Rightarrow \angle A > \angle B[/tex]

Т2: В триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна
Дадено:[tex]\triangle ABC, \angle \alpha > \angle \beta[/tex]
Ще докажем: [tex]a > b[/tex]
Доказателство:
За страните $a$ и $b$ съществуват следните 3 възможности:
[tex]a < b , a = b , a> b[/tex]
1) Да допуснем,че [tex]a = b \Rightarrow \angle \alpha = \angle \beta[/tex] (от свойството,че срещу равни страни лежат равни ъгли),което противоречи на условието ,че [tex]\angle \alpha > \angle \beta \Rightarrow a \ne b[/tex]
2) Да допуснем,че [tex]a < b \Rightarrow \angle \alpha < \angle \beta[/tex] (според предишната Т1), което противоречи на условието,че [tex]\angle \alpha > \angle \beta[/tex]
Остава вярно твърдението,че [tex]a > b[/tex]