Триъгълник и окръжности

[nikola.topalov]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] с център на вписаната окръжност [tex]I[/tex] и център на описаната окръжност [tex]O[/tex]. Известно е, че [tex]AI=2\sqrt{7}[/tex] и [tex]BI=\sqrt{7}[/tex]. Да се намери лицето на [tex]\triangle ABC[/tex], при условие че точките [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]I[/tex] и [tex]O[/tex] лежат на една окръжност.

[123a]

[tex]\angle AIB=2 \gamma[/tex]
[tex]\angle AOB=90+ \frac{ \gamma }{2}[/tex] където [tex]\gamma= \angle ACB[/tex]

Понеже $A,I,O,B$лежат на една окръжност, то

[tex]\angle AIB = \angle AOB[/tex]

[tex]2 \gamma= 90+ \frac{ \gamma }{2}=> \angle \gamma=60[/tex]

Нататък е ясно.