Правоъгълник

[Гост]

Даден е правоъгълник ABCD. Точките M и N са среди съответно на AB и BC. Ако ъгъл DMN=90, да се намери тангенсът на ъгъла между MN и DB.

[nikola.topalov]

С други думи търсим ъгъла между диагоналите на правоъгълника (защо?). Да си означим [tex]AM=MB=a[/tex] и [tex]BN=NC=b[/tex]. С три питагорови теореми установяваме, че [tex]DM^2=a^2+4b^2[/tex], [tex]MN^2=a^2+b^2[/tex] и [tex]DN^2=4a^2+b^2[/tex]. Понеже [tex]DM^2+MN^2=DN^2[/tex] отново по питагорова теорема, то [tex]a^2+4b^2+a^2+b^2=4a^2+b^2[/tex] или [tex]a=\sqrt{2}b[/tex]. Оттук намираме [tex]\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\tg\alpha[/tex], където [tex]\alpha=\angle MNB[/tex]. Тъй като острият ъгъл между диагоналите на правоъгълника е [tex]2\alpha[/tex], то остава на намерим [tex]\tg 2\alpha[/tex]. И така [tex]\tg 2\alpha=\dfrac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}=2\sqrt{2}[/tex].