Задача от 2-ри модул

[preslav.matev]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC, [tex]\angle[/tex]С=50[tex]^\circ[/tex]. Точките М и N cа съответно от страните АС и ВС и правите АN и АМ се пресичат в точка Р - вътрешна за триъгълника, като [tex]\angle[/tex]АРВ = 120[tex]^\circ[/tex]. Ъглополовящите на ъглите [tex]\angle[/tex]САN и [tex]\angle[/tex]СВМ се пресичат в точка Q. Намерете [tex]\angle[/tex]АQВ.

[mail_dinko]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC, [tex]\angle[/tex]С=50[tex]^\circ[/tex]. Точките М и N cа съответно от страните АС и ВС и правите АN и BM се пресичат в точка Р - вътрешна за триъгълника, като [tex]\angle[/tex]АРВ = 120[tex]^\circ[/tex]. Ъглополовящите на ъглите [tex]\angle[/tex]САN и [tex]\angle[/tex]СВМ се пресичат в точка Q. Намерете [tex]\angle[/tex]АQВ.

Проверете си условието.

За дадения триъгълник правим чертеж
[tex]\triangle ANC \Rightarrow \angle ANC = 180^\circ - 50 ^\circ - 2 \alpha = 130 ^\circ - 2 \alpha[/tex]
[tex]\triangle BMC \Rightarrow \angle BMC = 180^\circ - 50 ^\circ - 2 \beta = 130 ^\circ - 2 \beta[/tex]
Сбор на ъгли в четириъгълник - това са 360 градуса
[tex]\angle MPN = \angle APB = 120 ^\circ[/tex] - по условие
[tex]360 ^\circ = 50 ^\circ + 120 ^\circ + 130 ^\circ - 2 \alpha + 130 ^\circ - 2 \beta[/tex]
[tex]2(\alpha + \beta) = 70 ^\circ[/tex]
[tex]\alpha +\beta = 35 ^\circ[/tex]
[tex]\angle AQB = 180 ^\circ - \angle QAB - \angle QBA = 180 ^\circ - (\alpha + \beta \cancel {+ \gamma }+ 60 ^\circ \cancel { - \gamma}) = 180 ^\circ - (35 ^\circ+ 60 ^\circ )=85 ^\circ[/tex]