Вписан четириъгълник - екстремална задача

[nikola.topalov]

В окръжност е вписан четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали и максимално лице. Да се намери радиусът на окръжността, ако две срещуположни страни на четириъгълника имат дължини [tex]1[/tex] и [tex]7[/tex].

[Евва]

Случайно отговорът да е [tex]\frac{5 \sqrt{2} }{2}[/tex] ?

[nikola.topalov]

Случайно е толкова.

[Евва]

Очевидно четириъгълникът с взаимноперпендикулярни диагонали не е квадрат .
Приех ,че той е равнобедрен трапец с основи 7 и 1.
Проблемът е , че не зная как да докажа това .

[nikola.topalov]

Пускам примерно мое решение: Нека четириъгълникът е [tex]ABCD[/tex] и нека [tex]AB=7[/tex] и [tex]DC=1[/tex]. Да си означим [tex]BC=x[/tex]. От това, че [tex]AC\perp BD[/tex] имаме [tex]AB^2+DC^2=AD^2+BC^2[/tex], т.е. [tex]AD=\sqrt{50-x^2}[/tex]. Сега прилагаме теоремата на Птоломей: [tex]AC.BD=AB.DC+BC.AD[/tex], откъдето за лицето [tex]S[/tex] на четириъгълника получаваме $$S=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}\left(7+x\sqrt{50-x^2}\right)$$ Нека $$f(x):=x\sqrt{50-x^2}, \ 0<x< 5\sqrt{2}$$ Първата производна $$f'(x)=\dfrac{50-2x^2}{\sqrt{50-x^2}}$$ се анулира в точките [tex]x=\pm 5[/tex]. Имаме, че [tex]f(x)[/tex] е намаляваща в [tex](-\infty,-5)\cup(5,+\infty)[/tex] и е растяща в [tex](-5,5)[/tex]. Така за максимума на [tex]f(x)[/tex] за [tex]0<x< 5\sqrt{2}[/tex] получаваме $$\max\limits_{0<x<5\sqrt{2}}f(x)=f(5)=5$$ и съответно [tex]\max S=16[/tex]. Доказахме, че максималното лице се достига за [tex]BC=5[/tex] и понеже се получава, че и [tex]AD=5[/tex], то [tex]ABCD[/tex] е равнобедрен трапец. Нататък е ясно.