Задача 2 от успоредник

[preslav.matev]

За успоредника ABCD е известно, че [tex]\beta[/tex] = 5[tex]\alpha[/tex] и a : b = 7 : 5. Ако периметърът на успоредника е 96 cm, намерете:
а) разстояние от пресечната точка на диагоналите на успоредника до страната AD (в cm);
б) лицето на успоредника ABCD (в [tex]cm^{2 }[/tex])

[ammornil]

За успоредника ABCD е известно, че [tex]\beta[/tex] = 5[tex]\alpha[/tex] и a : b = 7 : 5. Ако периметърът на успоредника е 96 cm, намерете:
а) разстояние от пресечната точка на диагоналите на успоредника до страната AD (в cm);
б) лицето на успоредника ABCD (в [tex]cm^{2 }[/tex])

220511_002.png (25.79 KiB) Прегледано 1470 пъти

Дадено: [tex]ABCD, AB||CD, AD||BC, AB=CD, AD=BC, \angle BAC = 5\angle DAC, AB:BC=7:5, P_{ABCD}=96cm[/tex]
(a)[tex]AC \cap BD = O, OP \bot AD, OP=? \phantom{QQQ}[/tex] (б) [tex]S_{ABCD}=?[/tex]
[tex]AB=CD=7x, BC=AD=5x[/tex]
[tex]P_{ABCD}=2(AB+BC) \Rightarrow 2(7x+5x)=96 \Leftrightarrow 24x=96 \Leftrightarrow x=4\ cm \Rightarrow \begin{cases} AB=CD=28\ cm \\ BC=AD=20\ cm \end{cases}[/tex]
[tex]\alpha+\beta =180 ^\circ , \beta=5\alpha \Rightarrow 6\alpha=180 ^\circ \Rightarrow \alpha=30 ^\circ[/tex]
[tex]DD_{1} \bot AB, D_{1} \in AB \Rightarrow \triangle AD_{1}D \begin{cases} \angle AD_{1}D=90 ^\circ \\ \angle DAD_{1}=30 ^\circ \end{cases} \rightarrow AD_{1}=\frac{1}{2}AD \Rightarrow AD_{1}=10\ cm[/tex]

220511_003.png (25.02 KiB) Прегледано 1470 пъти

[tex]S_{ABCD}=AB.DD_{1}=28.10=280\ cm^{2}[/tex]

[tex]S_{ACD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=140\ cm^{2}[/tex]

[tex]S_{ACD}=\frac{1}{2}AD.OP \Rightarrow OP=\frac{2S_{ACD}}{AD}=\frac{2.140}{20}=14\ cm[/tex]

$$(а) OP=14\ cm \phantom{QQQ} (б) S_{ABCD}=280\ cm^{2}$$

[ammornil]

не знам къде ми е бил акъла

Дадено: [tex]ABCD, AB||CD, AD||BC, AB=CD, AD=BC, \angle ABC = 5\angle BAC, AB:BC=7:5, P_{ABCD}=96cm[/tex]
(a)[tex]AC \cap BD = O, OP \bot AD, OP=? \phantom{QQQ}[/tex] (б) [tex]S_{ABCD}=?[/tex]
[tex]AB=CD=7x, BC=AD=5x[/tex]
[tex]P_{ABCD}=2(AB+BC) \Rightarrow 2(7x+5x)=96 \Leftrightarrow 24x=96 \Leftrightarrow x=4\ cm \Rightarrow \begin{cases} AB=CD=28\ cm \\ BC=AD=20\ cm \end{cases}[/tex]
[tex]\alpha+\beta =180 ^\circ , \beta=5\alpha \Rightarrow 6\alpha=180 ^\circ \Rightarrow \alpha=30 ^\circ[/tex]
[tex]DD_{1} \bot AB, D_{1} \in AB \Rightarrow \triangle AD_{1}D \begin{cases} \angle AD_{1}D=90 ^\circ \\ \angle DAD_{1}=30 ^\circ \end{cases} \rightarrow AD_{1}=\frac{1}{2}AD \Rightarrow AD_{1}=10\ cm[/tex]


[tex]S_{ABCD}=AB.DD_{1}=28.10=280\ cm^{2}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=AD.PQ=280\ cm^{2} \Rightarrow PQ=\frac{S_{ABCD}}{AD}=\frac{280}{20}=14\ cm[/tex]

[tex]\triangle DOP \cong \triangle BOQ \Rightarrow OP=OQ=\frac{PQ}{2}=7cm[/tex]

$$(а) OP=7\ cm \phantom{QQQ} (б) S_{ABCD}=280\ cm^{2}$$

[S.B.]

За успоредника ABCD е известно, че [tex]\beta[/tex] = 5[tex]\alpha[/tex] и a : b = 7 : 5. Ако периметърът на успоредника е 96 cm, намерете:
а) разстояние от пресечната точка на диагоналите на успоредника до страната AD (в cm);
б) лицето на успоредника ABCD (в [tex]cm^{2 }[/tex])

Без заглавие - 2022-05-12T161218.487.png (213.68 KiB) Прегледано 1450 пъти

И още една идея :

[tex]\begin{cases} \angle A = \alpha \\ \angle B = 5 \alpha \\ \angle A + \angle B = 180 ^\circ \end{cases} \Leftrightarrow 6 \alpha = 180 ^\circ \Rightarrow \alpha = 30 ^\circ \Rightarrow \angle A = 30 ^\circ , \angle B = 150 ^\circ[/tex]

[tex]\begin{cases} a = 7x \\ b = 5x \\ \displaystyle\frac{P}{2}= 48 \end{cases} \Leftrightarrow a + b = 48 \Leftrightarrow 12x = 48 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow a = 28 , b = 20[/tex]

[tex]S_{ABCD } = a.b.\sin \angle 30 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABCD }= 28.20. \frac{1}{2} \Rightarrow S_{ABCD } = 280 cm^{2 }[/tex]

[tex]\begin{cases} S_{ \triangle AOD} = \displaystyle\frac{AD.OP}{2} \\ S_{ \triangle AOD} = \displaystyle \frac{1}{4} S_{ABCD } \end{cases} \Rightarrow \displaystyle\frac{AD.OP}{2} = \displaystyle\frac{ S_{ABCD } }{4} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{20.OP}{2} = 70 \Rightarrow OP = 7[/tex]

Скрит текст: покажи

Не е посочено за кой клас е задачата!