Задача от пробна матура

[preslav.matev]

Симетралата на хипотенузата AB на [tex]\triangle[/tex] ABC и пресича катета AC в точка D. Ако [tex]\angle[/tex]CBD=69[tex]^\circ[/tex] и AB=16 cm, колко квадратни сантиметра е лицето на [tex]\triangle[/tex]ABC?

[preslav.matev]

Симетралата на хипотенузата AB на [tex]\triangle[/tex] ABC и пресича катета AC в точка D. Ако [tex]\angle[/tex]CBD=60[tex]^\circ[/tex] и AB=16 cm, колко квадратни сантиметра е лицето на [tex]\triangle[/tex]ABC?

[S.B.]

Симетралата на хипотенузата AB на [tex]\triangle[/tex] ABC и пресича катета AC в точка D. Ако [tex]\angle[/tex]CBD=60[tex]^\circ[/tex] и AB=16 cm, колко квадратни сантиметра е лицето на [tex]\triangle[/tex]ABC?

Без заглавие - 2022-05-19T104735.052.png (197.93 KiB) Прегледано 255 пъти

[tex]\triangle BCD[/tex] е правоъгълен ,[tex]\angle CBD = 60 ^\circ \Rightarrow \angle CDB = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle ABD[/tex] е равнобедрен (от свойството на симетралата)
[tex]\angle CDB[/tex] е външен за него [tex]\Rightarrow \angle DAB = \angle DBA = 15 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle ABC :[/tex]
[tex]\frac{BC}{AB} = \sin 15 ^\circ \Leftrightarrow \frac{BC}{16} = \sin 15 ^\circ \Rightarrow BC = 16.\sin 15 ^\circ[/tex]

[tex]\sin^{2 } 15 ^\circ = \displaystyle\frac{1 - \cos 30 ^\circ }{2} = \displaystyle \frac{1 - \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} }{2} = \displaystyle \frac{2 - \sqrt{3} }{4} \Rightarrow \sin 15 ^\circ = \displaystyle\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } }{2}[/tex]
[tex]BC = 16.\sin 15 ^\circ \Rightarrow BC = 8 \sqrt{2 - \sqrt{3} }[/tex]

[tex]S_{ABC } = \frac{AB.BC}{2}. \sin \angle ABC \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{16. 8\sqrt{2 - \sqrt{3} } }{2}\sin 75 ^\circ = 64 \sqrt{2 - \sqrt{3} } \sin 75 ^\circ[/tex]

[tex]\sin 75 ^\circ = \sin(45 ^\circ + 30 ^\circ) = \sin45 ^\circ.\cos 30 ^\circ + \cos 45 ^\circ .\sin 30 ^\circ = \frac{ \sqrt{2} }{2}. \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2}. \frac{1}{2} = \frac{ \sqrt{2} }{4}( \sqrt{3} + 1)[/tex]

[tex]S_{ABC } = 64 \sqrt{2 - \sqrt{3} } \frac{ \sqrt{2} }{4}( \sqrt{3} + 1) = 16 \sqrt{2}( \sqrt{3} + 1) \sqrt{2 - \sqrt{3} }[/tex]

Скрит текст: покажи

Само накрая не ми казвайте,че сте сбъркали ъгъла! И,че не [tex]\angle CBD = 60 ^\circ[/tex] , а [tex]\angle CDB = 60 ^\circ[/tex] , защото този вариант го проиграх вече по невнимание !

[pal702004]

[tex]\frac{BC}{AB} = \sin 15 ^\circ \Leftrightarrow \frac{BC}{16} = \sin 15 ^\circ \Rightarrow BC = 16.\sin 15 ^\circ[/tex]

$AC=16\cos(15^{\circ})$

$S=\frac 1 2 16^2 \sin(15^{\circ})\cos(15^{\circ})=2^6\cdot 2 \sin(15^{\circ})\cos(15^{\circ})=2^6 \sin(30^{\circ})=32$

Проблема е, че вероятно пробната матура е за 7-ми клас и е без тригонометрия. С подобни триъгълници:

$BC=\frac 1 2 BD$ (правоъгълен срещу 30 градуса...)

$BD=AD$ (ABD- равнобедрен)

$\frac{AD}{AM}=\frac{AB}{AC}$ (ADM e подобен на ABC)

$\frac{AD}{8}=\frac{16}{AC}$

$AD\cdot AC=2^7$

Връщаме се към $AD=2BC$

$S=\frac 1 2\cdot BC \cdot AC=AD\cdot AC=32$

Проблема е, че май и подобни триъгълници не са учили.

[S.B.]

Проблема е, че май и подобни триъгълници не са учили.

Прав сте.Подобни триъгълници се изучават в 9 клас.
Според мен , ако е от матура за 7 клас би трябвало [tex]BDC = 60 ^\circ[/tex] Тогава нещата изглеждат така:

Без заглавие - 2022-05-19T095916.213.png (204.93 KiB) Прегледано 250 пъти

$BC$ лежи срещу ъгъл [tex]30 ^\circ \Rightarrow BC = 8[/tex]
И като се има предвид ,че още в 6 клас вече се учи Питагорова теорема - лесно ще се намери $AC$ и всичко е ясно:
[tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2}[/tex]
Остава още един проблем [tex]AC = 8 \sqrt{3}[/tex] , а това вече се учи в 8 клас

Но preslav.matev е публикувал в раздел "Геометрия" и човек не може да се ориентира за коя матура става дума.Той обикновено пише за 7 клас,но ...Всъщност каквото е условието - такова е и решението!

[S.B.]

Симетралата на хипотенузата AB на [tex]\triangle[/tex] ABC и пресича катета AC в точка D. Ако [tex]\angle[/tex]CBD=60[tex]^\circ[/tex] и AB=16 cm, колко квадратни сантиметра е лицето на [tex]\triangle[/tex]ABC?

Без заглавие - 2022-05-19T141325.004.png (230.44 KiB) Прегледано 243 пъти

Човек не бива да се отказва!
[tex]\triangle ABD[/tex] е равнобедрен ( [tex]S_{AB }[/tex] е симетрала)
[tex]\triangle BCD[/tex] е правоъгълен ,[tex]\angle DBC = 60 ^\circ \Rightarrow \angle CDB = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\angle CDB = 30 ^\circ[/tex] е външен ъгъл за равнобедрения [tex]\triangle ABD \Rightarrow \angle DAB = \angle DBA = 15 ^\circ[/tex]
Построявам $CM$ - медиана [tex]\Rightarrow AM = MB = CM = 8[/tex]
[tex]\triangle AMC[/tex] е равнобедрен ,[tex]\angle CAM = \angle ACM = 15 ^\circ \Rightarrow \angle CMB = 30 ^\circ[/tex] (като външен ъгъл)
Построявам [tex]CH \bot AB,H \in AB[/tex]
[tex]\triangle MHC[/tex] е правоъгълен [tex]\angle CMH = 30 ^\circ \Rightarrow CH = \frac{CM}{2} \Rightarrow CH = \frac{8}{2} = 4[/tex]

[tex]S_{ABC } = \frac{AB.CH}{2} = \frac{16.4}{2} = 32 cm^{2 }[/tex]

[S.B.]

[tex]\triangle BCD[/tex] е правоъгълен ,[tex]\angle CBD = 60 ^\circ \Rightarrow \angle CDB = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle ABD[/tex] е равнобедрен (от свойството на симетралата)
[tex]\angle CDB[/tex] е външен за него [tex]\Rightarrow \angle DAB = \angle DBA = 15 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle ABC :[/tex]
[tex]\frac{BC}{AB} = \sin 15 ^\circ \Leftrightarrow \frac{BC}{16} = \sin 15 ^\circ \Rightarrow BC = 16.\sin 15 ^\circ[/tex]

[tex]\sin^{2 } 15 ^\circ = \displaystyle\frac{1 - \cos 30 ^\circ }{2} = \displaystyle \frac{1 - \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} }{2} = \displaystyle \frac{2 - \sqrt{3} }{4} \Rightarrow \sin 15 ^\circ = \displaystyle\frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } }{2}[/tex]
[tex]BC = 16.\sin 15 ^\circ \Rightarrow BC = 8 \sqrt{2 - \sqrt{3} }[/tex]

[tex]S_{ABC } = \frac{AB.BC}{2}. \sin \angle ABC \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{16. 8\sqrt{2 - \sqrt{3} } }{2}\sin 75 ^\circ = 64 \sqrt{2 - \sqrt{3} } \sin 75 ^\circ[/tex]

[tex]\sin 75 ^\circ = \sin(45 ^\circ + 30 ^\circ) = \sin45 ^\circ.\cos 30 ^\circ + \cos 45 ^\circ .\sin 30 ^\circ = \frac{ \sqrt{2} }{2}. \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2}. \frac{1}{2} = \frac{ \sqrt{2} }{4}( \sqrt{3} + 1)[/tex]

[tex]S_{ABC } = 64 \sqrt{2 - \sqrt{3} } \frac{ \sqrt{2} }{4}( \sqrt{3} + 1) = 16 \sqrt{2}( \sqrt{3} + 1) \sqrt{2 - \sqrt{3} }[/tex]

Не искам да оставям впечатление,че това решение е грешно.Напротив!Вярно е и отговорът е също [tex]32 cm^{2 }[/tex],но проблемът се състои в това ,че не е съобразено със знанията на седмокласниците.Добре е когато търсите помощ ,да посочвате за кой клас е задачата.

[tex]\sin 15 ^\circ = \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } }{2} \approx 0,258819[/tex]
[tex]BC = 16.\sin 15 ^\circ = 16.0,258819 \approx 4,141104[/tex]
[tex]\sin 75 ^\circ = \frac{ \sqrt{2} }{4}( \sqrt{3} + 1) \approx 0,9659257[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{AB.BC}{2}\sin 75 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{16.4,141104}{2}. 0,9659257 = 31,9999999 \approx 32 cm^{2 }[/tex]