Задача от 2-ри модул

[preslav.matev]

Външно за ромба ABCD, в който [tex]\angle[/tex]BAD=50[tex]^\circ[/tex], е построен квадрат DCPQ. Ако O и [tex]O_{1 }[/tex] са пресечните точки на диагоналите съответно на ромба и квадрата, намерете големината на [tex]\angle[/tex]D[tex]O_{1 }[/tex]O в градуси.

[vezni]

Упътване: Докажи, че четириъгълникът $DOCO_1$ е вписан.

[S.B.]

Упътване: Докажи, че четириъгълникът $DOCO_1$ е вписан.

Да, така лесно се намира,че [tex]\angle D O_{1 }O = 25 ^\circ[/tex], но проблемът е ,че задачата е за 7 клас,а вписан четириъгълник се изучава в 8 клас...

[Евва]

Да построим равнобедрен [tex]\triangle[/tex]ОР[tex]О_{1 }[/tex] ( т.Р лежи на правата АС ) , в който О[tex]О_{1 }[/tex] =Р[tex]О_{1 }[/tex] .
[tex]\angle[/tex]D[tex]O_{1 }[/tex]O=[tex]\alpha[/tex]=?

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]O[tex]O_{1 }[/tex]D и [tex]\triangle[/tex]CP[tex]O_{1 }[/tex]
1. [tex]\angle[/tex] [tex]O_{1 }[/tex]DO=[tex]\angle[/tex][tex]O_{1 }[/tex]CP=110[tex]^\circ[/tex]
2. D[tex]O_{1 }[/tex]=C[tex]O_{1 }[/tex]
3. O[tex]O_{1 }[/tex]=P[tex]O_{1 }[/tex]
по 4 признак [tex]\triangle[/tex]O[tex]O_{1 }[/tex]D[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]CP[tex]O_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DO[tex]O_{1 }[/tex]=[tex]\angle[/tex]CP[tex]O_{1 }[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]-([tex]\alpha[/tex]+110[tex]^\circ[/tex])=70[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]

По построение [tex]\triangle[/tex]OP[tex]O_{1 }[/tex] е равноб. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex][tex]O_{1 }[/tex]OP=[tex]\angle[/tex]OP[tex]O_{1 }[/tex]=70[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]

До тук знаем [tex]\angle[/tex]DO[tex]O_{1 }[/tex]=70[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex][tex]O_{1 }[/tex]OP=70[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] .

[tex]\angle[/tex]DOP=[tex]\angle[/tex]DOC=90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]DO[tex]O_{1 }[/tex]+[tex]\angle[/tex][tex]O_{1 }[/tex]OP=90[tex]^\circ[/tex]
70[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+70[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\alpha[/tex]=25[tex]^\circ[/tex]