Задача от 2-ри модул от НВО

[preslav.matev]

В [tex]\triangle[/tex]ABC ъглополовящата AL (L [tex]\in[/tex] BC) пресича височината CD (D [tex]\in[/tex] AB) в точка M и AL = CD. Права през точка M, успоредна на AB, пресича страната AC в точка P. Ако AP : PC = 1 : 2 и периметърът на [tex]\triangle[/tex]ABC е 48 cm, намерете дължината на страната AC в сантиметри.

[Евва]

Докажи ,че [tex]\triangle[/tex]ABC е равностранен .

[S.B.]

В [tex]\triangle[/tex]ABC ъглополовящата AL (L [tex]\in[/tex] BC) пресича височината CD (D [tex]\in[/tex] AB) в точка M и AL = CD. Права през точка M, успоредна на AB, пресича страната AC в точка P. Ако AP : PC = 1 : 2 и периметърът на [tex]\triangle[/tex]ABC е 48 cm, намерете дължината на страната AC в сантиметри.

Без заглавие - 2022-06-05T195639.152.png (283.82 KiB) Прегледано 777 пъти

[tex]AP : PC = 1 : 2 \Rightarrow AP = x , PC = 2x[/tex]
[tex]AL[/tex] е ъглополовяща [tex]\Rightarrow \angle PAM = \angle DAM[/tex]
[tex]PM || AB \Rightarrow \angle PMA = \angle DAM[/tex] (кръстни)
[tex]\begin{cases} \angle PAM = \angle DAM\\ \angle DAM = \angle PMA\end{cases} \Rightarrow \angle PMA = \angle PAM \triangle AMP[/tex] е равнобедрен и $AP = MP = x$
[tex]PM || AB \Rightarrow \angle ADC = \angle PMC = 90 ^\circ[/tex](съответни)
[tex]\triangle PMC[/tex] е правоъгълен , [tex]PM = x , PC = 2x \Rightarrow \angle PCM = 30 ^\circ , \angle CPM = 60 ^\circ[/tex]
[tex]\angle CPM = \angle CAH = 60 ^\circ[/tex] (съответни) ,[tex]\angle CAL = \angle LAB = 30 ^\circ[/tex] ($AL$ е ъглополовяща)
[tex]\triangle ALC = \triangle ADC[/tex] (първи признак)
1)$AL = CD$ (по условие)
2)$AC$ е обща
3)[tex]\angle LAC = \angle ACD = 30 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle DAC = \angle ACL = 60 ^\circ \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е равностранен тъй като 2 от ъглите му са равни на по [tex]60 ^\circ[/tex]
[tex]P_{ABC } = 48 cm \Rightarrow BC = \frac{48}{3} = 16 cm[/tex]