Задача от 2-ри модул от НВО

[preslav.matev]

В остроъгълния [tex]\triangle[/tex]ABC [tex]\angle[/tex]BAC = 45[tex]^\circ[/tex] и CD (D [tex]\in[/tex] AB) е височина. Върху страната BC е взета точка M така, че MD е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]AMB.
а) Намерете големината на [tex]\angle[/tex]AMB.
б) Ако симетралата на AC пресича страната AM в точка O, [tex]\angle[/tex]MCO = 60[tex]^\circ[/tex] и BC =24 cm, намерете AB + AO в сантиметри.

[Евва]

Б подточка е решена в раздел 7 клас -НВО .
Пусната е на 21 април със заглавие -Задача от сборник за 7 кл. остроъгълен тр-к .

[preslav.matev]

Ами в а) подточка къде трябва да спуснем височините?

[Евва]

а) Нека [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex] и [tex]\angle[/tex]AMB=2[tex]\alpha[/tex] .
Да построим равнобедрен [tex]\triangle[/tex]NDM (т.N[tex]\in[/tex]AM) ,при който DM=DN .
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ADN и [tex]\triangle[/tex]DMC .
1. DN=DM
2. AD=CD (разгледай [tex]\triangle[/tex]ADC)
3.[tex]\angle[/tex]AND=[tex]\angle[/tex]DMC=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] по 4 признак [tex]\triangle[/tex]ADN[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]DMC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]NAD=[tex]\angle[/tex]MCD
От [tex]\triangle[/tex]DBC намираме [tex]\angle[/tex]BCD=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex] ,тогава [tex]\angle[/tex]NAD=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ABM) [tex]\angle[/tex]МAB+[tex]\angle[/tex]ABM+[tex]\angle[/tex]AMB=180[tex]^\circ[/tex]
(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex])+[tex]\beta[/tex]+[tex]\angle[/tex]AMB=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]AMB=90[tex]^\circ[/tex]