Задача от 2-ри модул от НВО

[preslav.matev]

За [tex]\triangle[/tex]ABC е известно, че [tex]\angle[/tex]CAB : [tex]\angle[/tex]ABC : [tex]\angle[/tex]BCA = 1 : 2 : 3 и AB + BC = 36 cm. Точката M е среда на страната AC. През точка A е построена права p е успоредна на BM, а през точка C - правата q [tex]\bot[/tex] BM. Правите p и q се пресичат в точка R. Намерете дължината на отсечката BR в сантиметри и големината на [tex]\angle[/tex]MRB в градуси.
Построих допълнителна отсечка, за да се получи успоредник, но не мога да се сетя какво да направя още.

[Евва]

Лесно намираме ъглите в [tex]\triangle[/tex]ABC [tex]\alpha[/tex]=30[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\beta[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] ,[tex]\gamma[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] .
Катетът ВС лежи срещу 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] BC=[tex]\frac{AB}{2}[/tex] (зам. в AB+BC=36)
AB+[tex]\frac{AB}{2}[/tex]=36 ; AB=24 см. и BC=12 см.
Нека q[tex]\cap[/tex]BM в т.Р . От p||BM [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ARC=[tex]\angle[/tex]MPC ( съответни ) т.е. [tex]\angle[/tex]ARC=90[tex]^\circ[/tex]
Тогава [tex]\triangle[/tex]ARC е правоъгълен и RM е негова медиана към хипотен.
RМ=[tex]\frac{AC}{2}[/tex]=MC (1) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]RCM е равнобедрен
Дадено е q[tex]\bot[/tex]BM т.е. CR [tex]\bot[/tex]MP [tex]\Rightarrow[/tex] MP е височина към основата в равноб. [tex]\triangle[/tex]RCM .
Тогава МР се явява и ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]RCM ; [tex]\angle[/tex]RMP=[tex]\angle[/tex]CMP (2)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]RBM и [tex]\triangle[/tex]MBC .
1. MB=MB
2. MR=MC ( от(1))
3. [tex]\angle[/tex]RMB=[tex]\angle[/tex]CMB ( от (2)) [tex]\Rightarrow[/tex] по 1 признак [tex]\triangle[/tex]RBM[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]MBC
Следователно BR=BC=12 см. и [tex]\angle[/tex]MRB=[tex]\angle[/tex]MCB=90[tex]^\circ[/tex]