Вписана окръжност в триъгълник

[Гост]

Точка О е център на вписаната в ABC окръжност, AO:BO =3:1 и AOB=120°. Ако AB = 2√13,

AC =?
BC=?
Sabc=?

[S.B.]

Точка О е център на вписаната в ABC окръжност, AO:BO =3:1 и AOB=120°. Ако AB = 2√13,

AC =?
BC=?
Sabc=?

Без заглавие - 2022-07-01T142331.456.png (276.88 KiB) Прегледано 352 пъти

[tex]AO : BO = 3 : 1 \Rightarrow AO = 3x , BO = x , x>0[/tex]
[tex]OM = ON = OP = r[/tex] (където $r$ е радиусът на вписаната окръжност)
За [tex]\triangle AOB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AB^{2 } = AO^{2 } + BO^{2 } -2 AO.BO.\cos 120 ^\circ \Leftrightarrow (2 \sqrt{13}) ^{2 } = 9 x^{2 } + x^{2 } + 2.3 x^{2 }. \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm 2 , x>0 \Rightarrow x = 2[/tex]
[tex]AO = 6 , BO = 2[/tex]
[tex]S_{AOB } = \frac{AO.BO}{2}\sin 120 ^\circ \Leftrightarrow S_{AOB } = \frac{6.2}{2}. \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow S_{AOB } = 3 \sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{AOB } = \frac{AB.ON}{2} \Leftrightarrow 3 \sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{13}.r }{2} \Rightarrow r = ON = \frac{3 \sqrt{39} }{13}[/tex]

$AO$ и $BO$ са ъглополовящи.Лесно се доказва,че [tex]\angle AOB = 90 ^\circ + \frac{1}{2} \angle ACB[/tex] (Основна задача в 7 клас)
[tex]120 ^\circ = 90 ^\circ + \frac{1}{2} \angle ACB \Rightarrow \angle ACB = 60 ^\circ[/tex]
$OC$ също е ъглополовяща [tex]\Rightarrow \angle MCO = \angle PCO = 30 ^\circ[/tex]
Тогава за правоъгълния [tex]\triangle MCO \rightarrow \frac{CM}{r} = \cotg 30 ^\circ \Leftrightarrow CM = \frac{3 \sqrt{39} }{13}. \sqrt{3} \Rightarrow CM = \frac{9 \sqrt{13} }{13}[/tex]
$$CP = CM = \frac{9 \sqrt{13} }{13} $$
За правоъгълния [tex]\triangle ANO[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AN^{2 } = AO^{2 } - r^{2 } \Leftrightarrow AN^{2 } = 36 - \frac{27}{13} = \frac{441}{13} \Rightarrow AN = \frac{21 \sqrt{13} }{13}[/tex]
$$AM = AN = \frac{21 \sqrt{13} }{13} $$
[tex]NB = AB - AN = 2 \sqrt{13} - \frac{21 \sqrt{13} }{13} = \frac{5 \sqrt{13} }{13}[/tex]
$$BP = BN = \frac{5 \sqrt{13} }{13} $$
[tex]AC = AM + MC = \frac{21 \sqrt{13} }{13} + \frac{9 \sqrt{13} }{13} \Rightarrow AC = \frac{30 \sqrt{13} }{13}[/tex]

[tex]BC = BP + PC = \frac{5 \sqrt{13} }{13} + \frac{9 \sqrt{13} }{13} \Rightarrow BC = \frac{14 \sqrt{13} }{13}[/tex]

[tex]S_{ABC } = \displaystyle \frac{AC.BC}{2}\sin 60 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABC } = \displaystyle\frac{\displaystyle \frac{30 \sqrt{13} }{13}.\displaystyle \frac{14 \sqrt{13} }{13} }{2} .\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} = \displaystyle \frac{30.14. \sqrt{3} }{13.4} = \displaystyle \frac{105 \sqrt{3} }{13}[/tex]