Успоредник

[Гост]

Диагоналите на успоредника ABCD се пресичат в точка O. Точките P и Q делят диагонала BD на три равни части (P е между B и Q). Ако AP[tex]\cap[/tex]BC=M, AQ[tex]\cap[/tex] CD =N, докажете, че O е медицинтър на триъгълника AMN.

[S.B.]

Диагоналите на успоредника ABCD се пресичат в точка O. Точките P и Q делят диагонала BD на три равни части (P е между B и Q). Ако AP[tex]\cap[/tex]BC=M, AQ[tex]\cap[/tex] CD =N, докажете, че O е медицинтър на триъгълника AMN.

Без заглавие - 2022-07-09T173102.705.png (235.66 KiB) Прегледано 258 пъти

[tex]DQ = QP = PB = \frac{1}{3}BD[/tex]
[tex]DO = \frac{1}{2} BD, DO = DQ + QO[/tex]
[tex]DQ = \frac{1}{3}DB , QO = \frac{1}{6} DB \Rightarrow DQ:QO = 2:1[/tex]
В [tex]\triangle ACD[/tex] отсечката [tex]DO[/tex] е медиана ; От [tex]DQ:QO = 2:1 \rightarrow Q[/tex] е медицентър.Тогава и медианата през $A$ към страната $CD$ минава през [tex]Q \Rightarrow AN[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow N[/tex] е среда на $DC$
С анлогични разсъждания за [tex]\triangle ABC[/tex] доказвам,че т.$M$ е среда на $BC$
[tex]\Rightarrow MN[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle DBC[/tex]
[tex]MN \cap CA = K \Rightarrow OK = KC \Rightarrow OC:OK = 2:1[/tex]
Но [tex]OC = OA \Rightarrow OA:OK = 2:1[/tex]
Лесно се доказва,че $NK = MK$ от което следва,че $AK$ е медиана
От $AK$ медиана в [tex]\triangle AMN, O \in AK \Rightarrow O[/tex] е медицентър на [tex]\triangle AMN[/tex]