Триъгълник

[Гост]

Screenshot_20220720-222359.png (269.82 KiB) Прегледано 348 пъти

Ъгъл ADB =?

[Гост]

Отговорът е [tex]30 ^\circ[/tex]

[Евва]

Нека AD=b и AB=CD=c .
[tex]\angle[/tex]ADB=[tex]\alpha[/tex]=?

([tex]\triangle[/tex]ABD-sin T) [tex]\frac{c}{sin \alpha }[/tex]=[tex]\frac{b}{sin20 ^\circ }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] b=[tex]\frac{c.sin20 ^\circ }{sin \alpha }[/tex] (1)

([tex]\triangle[/tex]ACD-sin T) [tex]\frac{b}{sin40 ^\circ }[/tex]=[tex]\frac{c}{sin[ 180 ^\circ-( \alpha +40 ^\circ ) ] }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] b.sin([tex]\alpha[/tex]+40[tex]^\circ[/tex])=c.sin40[tex]^\circ[/tex] (2)

Скрит текст: покажи

Заместваме (1) в (2) .

[tex]\frac{c.sin20 ^\circ }{sin \alpha }[/tex](sin[tex]\alpha[/tex]cos40[tex]^\circ[/tex]+cos[tex]\alpha[/tex]sin40[tex]^\circ[/tex]) = c.sin40[tex]^\circ[/tex] |.sin[tex]\alpha[/tex][tex]\ne[/tex]0

sin20[tex]^\circ[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]cos40[tex]^\circ[/tex]+sin20[tex]^\circ[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]sin40[tex]^\circ[/tex]=sin40[tex]^\circ[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]

cos[tex]\alpha[/tex]sin20[tex]^\circ[/tex]sin40[tex]^\circ[/tex]=sin[tex]\alpha[/tex](sin40[tex]^\circ[/tex]-sin20[tex]^\circ[/tex]cos40[tex]^\circ[/tex])

cotg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2sin20 ^\circ.cos20 ^\circ -sin20 ^\circ.cos40 ^\circ }{sin20 ^\circ sin40 ^\circ }[/tex]=

=[tex]\frac{2cos20 ^\circ -cos40 ^\circ }{sin40 ^\circ }[/tex] =[tex]\frac{2cos(30 ^\circ -10 ^\circ )-cos(30 ^\circ +10 ^\circ ) }{sin(30 ^\circ +10 ^\circ ) }[/tex]=

=[tex]\frac{2. \frac{ \sqrt{3} }{2} .cos10 ^\circ +2. \frac{1}{2} .sin10 ^\circ - \frac{ \sqrt{3} }{2}.cos10 ^\circ+ \frac{1}{2} .sin10 ^\circ }{ \frac{1}{2}cos10 ^\circ + \frac{ \sqrt{3} }{2}sin10 ^\circ }[/tex]=

=[tex]\frac{ \frac{ \sqrt{3}cos10 ^\circ+3sin10 ^\circ }{2} }{ \frac{cos10 ^\circ + \sqrt{3}sin10 ^\circ }{2} }[/tex]= [tex]\frac{ \sqrt{3}(cos10 ^\circ + \sqrt{3} sin10 ^\circ ) }{cos10 ^\circ+ \sqrt{3} sin10 ^\circ }[/tex]

Получихме cotg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\sqrt{3}[/tex]

[tex]\alpha[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]

[nikola.topalov]

Ето и седмокласно решение:

geogebra-export (39).png (104.83 KiB) Прегледано 293 пъти

Построяваме равностранния [tex]\triangle AEM[/tex] (точките [tex]M[/tex] и [tex]D[/tex] са в една и съща полуравнина спрямо правата [tex]AE[/tex]). Понеже [tex]AC=EC[/tex], то [tex]\triangle ACM\cong\triangle ECM[/tex] по трети признак, откъдето [tex]\measuredangle AMC=\measuredangle CME=30^\circ[/tex]. От друга страна имаме, че [tex]\measuredangle MAC=\measuredangle ACD=40^\circ[/tex] (защо?), откъдето пък получаваме, че [tex]\triangle ACM\cong\triangle ACD[/tex] по първи признак, тоест [tex]\measuredangle AMC=\measuredangle ADC=30^\circ[/tex].