Екстремална задача

[Гост]

В равнобедрен триъгълник ABC с основа AB=12cm и височина CH=10cm е вписан правоъгълник, така че два от върховете му лежат на основата на триъгълника, а другите два - на бедрата му. Намери дължините на страните на правоъгълника, така че лицето му да бъде най-голямо.

[Гост]

От всички правоъгълници, вписани в окръжност с радиус 5 cm, намерете:
а) отношението на страните на онзи, който има най-голямо лице;
б) дължините на страните на правоъгълниците от подусловие а)

[Jack]

В равнобедрен триъгълник ABC с основа AB=12cm и височина CH=10cm е вписан правоъгълник, така че два от върховете му лежат на основата на триъгълника, а другите два - на бедрата му. Намери дължините на страните на правоъгълника, така че лицето му да бъде най-голямо.

От всички правоъгълници, вписани в окръжност с радиус 5 cm, намерете:
а) отношението на страните на онзи, който има най-голямо лице;
б) дължините на страните на правоъгълниците от подусловие а)

Разписах на лист и мисля, че отговорите и решението ми са верни.

зад.$1$
Чертежът ми:

geogebra-export(4).png (168.46 KiB) Прегледано 501 пъти

Дължините на търсения правоъгълник много не съответстват на стойностите, които получих, но мисля, че горе-долу става за ориентиране какво да бъде решението.

Височината $CH$ разделя $AB$ на две еднакви части. Тоест $AH = BH$.
$AH = BH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}12 = 6 cm$

Нека $MQ = NP = x$ и $QP = MN = y$. ($x>0,y>0$)
$S_{MNPQ} = MQ \times MN = x \times y$

Понеже $\triangle AMQ$ и $\triangle AHC$ са подобни

$\frac{AM}{AH} = \frac{MQ}{CH}$

$\frac{AM}{6} = \frac{x}{10}$

$AM = \frac{3}{5}x$

Понеже $\triangle AMQ$ и $\triangle BNP$ са еднакви
$AM = BN = \frac{3}{5}x$
$MN = AB - (AM + BN) = AB - 2AM$
$MN = 12 - \frac{6}{5}x = \frac{60 - 6x}{5} = y$

$S_{MNPQ} = MQ \times MN = x \times y = x \times \frac{60 - 6x}{5}$

$S_{MNPQ} = \frac{60x - 6x^{2}}{5} = -\frac{6}{5}x^{2} + \frac{60}{5}x$
$f(x) = -\frac{6}{5}x^{2} + 12x$

$D_{x}: x > 0; \frac{60-6x}{5}>0$
$D_{x}: x > 0; 60-6x>0$
$D_{x}: x > 0; x < 10$

Тук в "Графика и свойства" ще използваме формулата $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{-\frac{12}{5}} = 5$.
$5 \in D_{x}$

$y = \frac{60 - 6x}{5} = 6$

$S_{MNPQ} = x \times y = 5 \times 6 = 30cm^{2}$

[Jack]

зад.$2$

geogebra-export(5).png (183.9 KiB) Прегледано 499 пъти

$А)$
Нека $AB = a; BC = b$.
$AC = 2R = 10 cm$

$AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$
$a^{2} + b^{2} = 10^{2}$
$a^{2} + b^{2} = 100$

Тук използваме средно геометрично и хармонично.

$\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \ge \sqrt(a \times b)$

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \ge (a \times b)$

Понеже искаме правоъгълника да е с максимално лице приемаме, че $a \times b = \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$.

$a^{2} + b^{2} = 2ab$
$a^{2} - 2ab + b^{2} = (a-b)^{2} = 0$ [tex]\Rightarrow[/tex] $a = b$. [tex]\Rightarrow[/tex] $\frac{a}{b} = 1$

$Б)$
$a^{2} + b^{2} = 2a^{2} = 100$
$a^{2} = 50$
$a = \sqrt50 = \sqrt2 \times \sqrt25 = 5 \sqrt2$

Страната на квадрата е $5 \sqrt2$.