Стереометрична задача помощ

[Гост]

Здравейте! Стереометриятя никога не ми е била силна и ще съм много благодарна ако някой ми помогне със следната задача: Основата на трръгълната пирамида ABCD е равностранният триъгълник ABC със страна 2корен3. Околната стена ABD е перпендикулярна на основата и AD=BD. Да се намери най-мьлката стойност на радиуса на описаната сфера около пирамидата.

[Гост]

Проверете условието на задачата.Нещо лисва

[peyo]

Проверете условието на задачата.Нещо лисва

Нищо не липсва, задачата е дефинирана еднозначно:

ezgif-2-710ebb51e3.gif (1.07 MiB) Прегледано 331 пъти

[nikola.topalov]

Нека описаната сфера около пирамидата е [tex]\sigma(O,R)[/tex]. Нека [tex]H[/tex] е средата на [tex]AB[/tex] и [tex]CH\cap\sigma=M\not\equiv C[/tex]:

geogebra-export (53).png (85 KiB) Прегледано 325 пъти

Ясно е, че окръжността, описана около [tex]\triangle MCD[/tex] е голяма за сферата (т.е. съдържа нейния център), затова се стремим да изразим нейния радиус. Отсечката [tex]DH=h[/tex] е височина на пирамидата. Да си означим сега [tex]\measuredangle HCD=\alpha[/tex]. Намираме [tex]DC=\sqrt{h^2+9}[/tex] по питагорова теорема за [tex]\triangle HCD[/tex], откъдето [tex]\cos\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{h^2+9}}[/tex] и [tex]\sin\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{h^2+9}}[/tex]. Прилагаме косинусова теорема за [tex]\triangle MCD[/tex], откъдето [tex]MD=\sqrt{h^2+1}[/tex] и съответно $$R=f(h)=\dfrac{\sqrt{(h^2+1)(h^2+9)}}{2h}, \ h>0$$ по синусова теорема за същия триъгълник. Тъй като $$f(h)=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{(h^2+1)(h^2+9)}{h^2}}$$ то можем да положим [tex]t=x^2 >0[/tex] и да образуваме нова функция $$g(t)=\dfrac{(t+1)(t+9)}{t}:\min\limits_{t>0} \dfrac{1}{2}\sqrt{g(t)}=\min\limits_{x>0} f(h)$$ И така първата производна $$g'(t)=\dfrac{t^2-9}{t^2}$$ се анулира в точките [tex]t=\pm 3[/tex], от които само [tex]t=3>0[/tex]. Функцията [tex]g(t)[/tex] е намаляваща в [tex](0,3)[/tex] и е растяща в [tex](3,+\infty)[/tex], откъдето [tex]\min\limits_{t>0}g(t)=g(3)=16[/tex] и [tex]\min\limits_{h>0}f(h)=2[/tex]. Равенство ще е изпълнено когато центърът на сферата [tex]O[/tex] съвпада с центъра на основата.

[Гост]

Здравейте! Стереометриятя никога не ми е била силна и ще съм много благодарна ако някой ми помогне със следната задача: Основата на трръгълната пирамида ABCD е равностранният триъгълник ABC със страна 2корен3. Околната стена ABD е перпендикулярна на основата и AD=BD. Да се намери най-мьлката стойност на радиуса на описаната сфера около пирамидата.

Споделете източникът на задачата.

[peyo]

...Равенство ще е изпълнено когато центърът на сферата [tex]O[/tex] съвпада с центъра на основата.

Да видим дали не можем да намерим това решение по-директно. Да видим отново анимацията:

ezgif-2-710ebb51e3.gif (1.07 MiB) Прегледано 312 пъти

Пространствените окръжности които виждаме са част от повърхността на сферата. Окръжността която лежи в равнината XY не се променя. Сферата когато върхът D e високо се намирам над равнината XY, а когато D намалява в един момент отива от другата страна на XY. Toeст сферата някак си като балон се смалява и се промушва през окръжноста на основата. Тогава сферата в един момент ще има радиус равен на окръжността на основата. И това е минимум, защото както казахме по-рано окръжността на основата винаги е част от повърхността на сферата и не се променя, тоест сферата не може да има по-малък радиус.

[S.B.]

Без заглавие - 2022-09-22T171613.756.png (300.62 KiB) Прегледано 291 пъти

Още един поглед върху задачата

Пирамидата $ABCD$ е вписана в сфера с център $O$ и радиус $R$
Всяка стена на пирамидата отсича от сферата окръжност в която е вписана.
Нека основата $ABC$ е вписана в окръжност [tex]k_{1 }( O_{1 }, r_{1 })[/tex] ,а стената $ABD$ в окръжност [tex]k_{2 }( O_{2 }, r_{2 })[/tex]
Перпендикулярите издигнати от центровете на двете окръжности се пресичат в т.$O$,която е център на сферата, а $OC = OA = OB = R$
За [tex]\triangle OC O_{1 }[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]OC^{2 } = O O_{1 } ^{2 } + CO_{1 } ^{2 } \Leftrightarrow R^{2 } = d_{1 } ^{2 } + r_{1 } ^{2 }[/tex]
От равностранния [tex]\triangle ABC[/tex] чрез Синусова теорема неамирам [tex]r_{1 } = 2[/tex]
Нека [tex]d_{1 } = x[/tex]
Тогава [tex]R^{2 } = x^{2 } + 4 \Rightarrow R = \sqrt{ x^{2 } + 4}[/tex]
Явно $R$ е функция на разстоянието [tex]d_{1 } = O_{1 }O = x[/tex]
[tex]R(x) = \sqrt{ x^{2 } + 4}[/tex]
[tex]R'(x) = \frac{x}{ \sqrt{ x^{2 } +4} }[/tex]
[tex]R'(x) = 0 \Rightarrow x = 0[/tex] за $x= 0$ функцията притежава екстремум
[tex]R''(x) = \frac{4}{( x^{2 } +4) \sqrt{ x^{2 }+ 4 } }[/tex]
[tex]R''(0) >0[/tex] (защото [tex]\sqrt{ x^{2 } + 4 } = R>0) \Rightarrow[/tex] за $x = 0$ функцията има минимум
[tex]R_{min } = 2[/tex]
T.e. най малък радиус се получава,когато разстоянието между центърът на сферата и центъра на описаната около основата окръжност е $0$.Тогава двата центъра ще съвпаднат и радиуса на сферата ще съвпадне с радиуса на описаната около основата окръжност.

Скрит текст: покажи

Спомням си,че когато правех първите си крачки в програмирането,ми се наложи да пиша програма за това как трябва да се храни най - икономично едно говедо.Технологът за който писах програмата възкликна: "Но при това положение говедото ще умре от глад!"...Та и с този минимален радиус без никакво ограничение е почти същата история - просто сферата изчезва!