Квадрат

[Гост]

Даден е квадрат ABCD с пресечна точка на диагоналите O. Ако точки P и Q са среди съответно на отсечките OB и DC, намерете мярката на [tex]\angle[/tex]APQ.

[Гост]

s analitichna geometrija, skalarno proizvedenie na 2 vektora

[KOPMOPAH]

Получих $90^\circ$

Скрит текст: покажи

Без аналитична геометрия, която е най-краткият, но и най-неразбраният за средношколника начин.
Използвам подобие по втори признак и косинусова теорема

[S.B.]

И аз получих прав ъгъл без аналитична геометрия и без подобни триъгълници

[Гост]

gotina zadacha za uprazhnenie i s kompleksni chisla

[Гост]

gotina zadacha za uprazhnenie i s kompleksni chisla

Abe shto ne probvash s geometriata na Lobashvski?!

[Гост]

iskash da kazesh Lobachevsky

[Гост]

dobra ideia; kak sha izglezha toja kvadrat vurhu sfera ili vurhu hiperboloid?

[Гост]

Imash dumata!

[Гост]

ama teb ta interesuva dvuizmerznata hiperbolichna geometrija, nali taka?

[Гост]

ama teb ta interesuva dvuizmerznata hiperbolichna geometrija, nali taka?

Men me interesuvat mnogo raboti ,no ti niamash poniatie i ot polovinata ot tiah!

[Гост]

iskash da kazhesh, che ot njakoi ot tiah imam poniatie?

[Гост]

Edva li

[Гост]

a interesni li sa tija raboti?

[Гост]

mezhdu drugoto, CORMORANT se interesuva kak taka si pozvoliavash da reshavash bez podobni triugulnici; kakvo da mu kazha?

[Гост]

Kazhi mu da mi zvunne po telefona

[nikola.topalov]

Компексни числа, Лобачевски... И пак не предложихте решение

Хрумна ми едно решение, подходящо за осми клас:
Разглеждам ротация [tex]\rho(B,-90^\circ)[/tex], при която [tex]P\to P'[/tex], [tex]Q\to K[/tex] и [tex]O\to O'[/tex]:

geogebra-export (55).png (82.63 KiB) Прегледано 469 пъти

Ясно е, че [tex]OO'=DC[/tex], откъдето [tex]PP'=QC[/tex] (понеже [tex]PP'=1/2 OO'[/tex] и [tex]QC=1/2DC[/tex]) и следователно [tex]PP'CQ[/tex] е успоредник, т.е. [tex]QP\parallel CP'[/tex]. Тъй като обаче [tex]\rho:QP\to P'K[/tex], то от свойството на ротацията [tex]PQ\perp P'K[/tex] и следователно [tex]CP'\perp P'K[/tex], което трябваше да се докаже.

Има и решение с вписан четириъгълник, което също е кратко. Ако искаш и него ще кача.

[KOPMOPAH]

Квадрат-2.png (8.26 KiB) Прегледано 452 пъти

Друг поглед към задачата:

Приемам страната на квадрата за $2$ "за да поизбегна работа с дроби", както казва колегата nikola.topalov. Тогава $$AQ=\sqrt{AD^2+DQ^2}=\sqrt 5$$ $$AP=\sqrt{AO^2+OP^2}=\sqrt{\left(\sqrt 2\right)^2+\left(\frac{\sqrt 2}2\right)^2}=\sqrt{\frac 52}$$ Нататък$$DP=\sqrt 2+\frac 12\sqrt 2=\frac 32\sqrt2$$ $$DQ=1, \measuredangle PDQ=45^\circ$$и от косинусова теорема за $\triangle PDQ$ $$PQ^2=DP^2+DQ^2-2DP.DQ.\cos \measuredangle PDQ$$ след опростяване $$PQ=\sqrt{\frac 52}$$Получихме, че$$AP^2+PQ^2=AQ^2$$следователно триъгълникът е правоъгълен и търсеният ъгъл е прав.

[S.B.]

Без заглавие - 2022-09-30T221445.892.png (198.93 KiB) Прегледано 451 пъти

Още един поглед върху задачата

За [tex]\triangle ADQ[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AQ^{2 } = DQ^{2 } + AD^{2 } \Leftrightarrow AQ^{2 } = a^{2 } + \frac{ a^{2 } }{4}[/tex]
$$\Rightarrow AQ^{2 }= \frac{5 a^{2 } }{4} $$

За [tex]\triangle APO[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AP^{2 } = AO^{2 } + PO^{2 } \Leftrightarrow AP^{2 } = ( \frac{a \sqrt{2} }{2}) ^{2 } + ( \frac{a \sqrt{2} }{4} )^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow AP^{2 } = \frac{5 a^{2 } }{8}, AP = \frac{a \sqrt{10} }{4} $$

За [tex]\triangle DPQ[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]QP^{2 } = DQ^{2 } + DP^{2 } - 2.DQ.DP.\cos 45 ^\circ \Leftrightarrow DQ^{2 } = ( \frac{a}{2}) ^{2 } + ( \frac{3a \sqrt{2} }{4}) ^{2 } - 2. \frac{a}{2}. \frac{3a \sqrt{2} }{4}. \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow QP^{2 } = \frac{5 a^{2 } }{8} ,QP = \frac{a \sqrt{10} }{4}$$

За [tex]\triangle APQ[/tex] прилагам Косинусова теорема:

[tex]\cos \angle APQ = \displaystyle\frac{ AQ^{2 } - PQ^{2 } - AP^{2 } }{-2.AP.PQ} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{5 a^{2 } }{4} - \displaystyle \frac{5 a^{2 } }{8} - \displaystyle \frac{5 a^{2 } }{8} }{- 2\displaystyle \frac{a \sqrt{10} }{4}.\displaystyle \frac{a \sqrt{10} }{4} } = 0[/tex]
$$\cos \angle APQ = 0 \Rightarrow \angle APQ = 90 ^\circ $$

[Гост]

Компексни числа, Лобачевски... И пак не предложихте решение

Хрумна ми едно решение, подходящо за осми клас:
Разглеждам ротация [tex]\rho(B,-90^\circ)[/tex], при която [tex]P\to P'[/tex], [tex]Q\to K[/tex] и [tex]O\to O'[/tex]:

geogebra-export (55).png

Ясно е, че [tex]OO'=DC[/tex], откъдето [tex]PP'=QC[/tex] (понеже [tex]PP'=1/2 OO'[/tex] и [tex]QC=1/2DC[/tex]) и следователно [tex]PP'CQ[/tex] е успоредник, т.е. [tex]QP\parallel CP'[/tex]. Тъй като обаче [tex]\rho:QP\to P'K[/tex], то от свойството на ротацията [tex]PQ\perp P'K[/tex] и следователно [tex]CP'\perp P'K[/tex], което трябваше да се докаже.

Има и решение с вписан четириъгълник, което също е кратко. Ако искаш и него ще кача.

Nikola, ne si v chas...metoda s rotaciite go minahme pri edna druga zadacha s kvadrat; tursjat se drugi inovativni podhodi; inache da, napishi i tui s vpisanija, ama toi stava jasen, ako znaish ili predpolagash, che e prav

[Гост]

Lobachevsky go predlozhi S.B.

[Гост]

Без заглавие - 2022-09-30T221445.892.png

Още един поглед върху задачата

За [tex]\triangle ADQ[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AQ^{2 } = DQ^{2 } + AD^{2 } \Leftrightarrow AQ^{2 } = a^{2 } + \frac{ a^{2 } }{4}[/tex]
$$\Rightarrow AQ^{2 }= \frac{5 a^{2 } }{4} $$

За [tex]\triangle APO[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AP^{2 } = AO^{2 } + PO^{2 } \Leftrightarrow AP^{2 } = ( \frac{a \sqrt{2} }{2}) ^{2 } + ( \frac{a \sqrt{2} }{4} )^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow AP^{2 } = \frac{5 a^{2 } }{8}, AP = \frac{a \sqrt{10} }{4} $$

За [tex]\triangle DPQ[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]QP^{2 } = DQ^{2 } + DP^{2 } - 2.DQ.DP.\cos 45 ^\circ \Leftrightarrow DQ^{2 } = ( \frac{a}{2}) ^{2 } + ( \frac{3a \sqrt{2} }{4}) ^{2 } - 2. \frac{a}{2}. \frac{3a \sqrt{2} }{4}. \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow QP^{2 } = \frac{5 a^{2 } }{8} ,QP = \frac{a \sqrt{10} }{4}$$

За [tex]\triangle APQ[/tex] прилагам Косинусова теорема:

[tex]\cos \angle APQ = \displaystyle\frac{ AQ^{2 } - PQ^{2 } - AP^{2 } }{-2.AP.PQ} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{5 a^{2 } }{4} - \displaystyle \frac{5 a^{2 } }{8} - \displaystyle \frac{5 a^{2 } }{8} }{- 2\displaystyle \frac{a \sqrt{10} }{4}.\displaystyle \frac{a \sqrt{10} }{4} } = 0[/tex]
$$\cos \angle APQ = 0 \Rightarrow \angle APQ = 90 ^\circ $$

tva realno e sushtoto kato na KORMORAN

[Гост]

da se reshi zadachata s racionalnata geometrija na Wildberger

[Гост]

https://www.youtube.com/playlist?list=PL3C58498718451C47