Задачи с отношение на ъгли

[Владимир]

Здравейте,
повечето пъти като се появи отношение на ъгли в задача, забуксувам. Бих бил много благодарен ако някой може да ме ориентира, да даде съвет, препоръка, "хитрост" по този въпрос.
Ето една задачка за пример, която ме тормози:

Точка К е ортогоналната проекция на точка М в равнината [tex]\alpha[/tex]. Ако АК = 33, ВК = 8 и [tex]\angle[/tex]АМК : [tex]\angle[/tex]ВМК = 3:2, намерете МК

[S.B.]

Здравейте,
повечето пъти като се появи отношение на ъгли в задача, забуксувам. Бих бил много благодарен ако някой може да ме ориентира, да даде съвет, препоръка, "хитрост" по този въпрос.
Ето една задачка за пример, която ме тормози:

Точка К е ортогоналната проекция на точка М в равнината [tex]\alpha[/tex]. Ако АК = 33, ВК = 8 и [tex]\angle[/tex]АМК : [tex]\angle[/tex]ВМК = 3:2, намерете МК

Без заглавие - 2023-01-16T152817.429.png (239.18 KiB) Прегледано 369 пъти

[tex]\angle AMK : \angle BMK = 3:2 \Rightarrow \angle AMK = 3x < \frac{ \pi }{2} , \angle BMK = 2x < \frac{ \pi }{2}[/tex] (защото са остри ъгли от правоъгълни триъгълници)

От[tex]\triangle AMK :[/tex]
[tex]\frac{AK}{MK} = \tg \angle AMK \Leftrightarrow \frac{33}{MK} = \tg 3x \Leftrightarrow MK = \frac{33}{\tg 3x} \Rightarrow[/tex]
$$MK = 33.\cotg 3x$$
От [tex]\triangle BMK :[/tex]
[tex]\frac{BK}{MK} = \tg \angle BMK \Leftrightarrow \frac{8}{MK} = \tg 2x \Leftrightarrow MK = \frac{8}{\tg 2x} \Rightarrow[/tex]
$$MK = 8.\cotg 2x$$
[tex]\begin{cases} MK = 33.\cotg 3x \\ MK = 8.\cotg 2x \end{cases} \Rightarrow[/tex]
$$33.\cotg 3x = 8.\cotg 2x $$

От формулите за функции на удвоен и утроен ъгъл знаем:
$$\cotg 2x = \frac{\cotg x - tg x}{2} ; \cotg 3x = \frac{ \cotg^{3 }x - 3\cotg x}{3 \cotg^{2 }x -1 } $$
След заместване се получава тригономертичното уравнение:

$$33. \frac{ \cotg^{3 } x - 3.\cotg x }{3. \cotg^{2 }x - 1 } = 8. \frac{\cotg x - \tg x}{2} $$
Полагам [tex]\cotg x = t \Rightarrow \tg x = \frac{1}{t}[/tex] и получавам:
[tex]33 \displaystyle\frac{ t^{3 } - 3t }{3 t^{2 } - 1} = 8 \displaystyle\frac{t - \displaystyle\frac{1}{t} }{2} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{33( t^{3 } - 3t)}{3 t^{2 } - 1 } = \displaystyle \frac{4( t^{2 } - 1) }{t}[/tex]

След преработка получавам:
$$21 t^{4 } - 83 t^{2 } - 4 = 0 $$
Полагам [tex]t^{2 } = u \ge 0[/tex]
[tex]21 u^{2 } - 83u -4 = 0 ,D = 85^{2 } , u_{1,2 }= \frac{83 \pm 85 }{42} , u_{1 } = 4 , u_{2 }< 0[/tex]
Връщам субституцията и намирам ,че [tex]t_{1,2 } = \pm 2 \Rightarrow \cotg x_{1,2 } = \pm 2[/tex]
Но приехме,че [tex]2x< \frac{ \pi }{2} , 3x< \frac{ \pi }{2} \Rightarrow \cotg x > 0 \Rightarrow \cotg x = 2[/tex]
[tex]\cotg 2x = \displaystyle\frac{\cotg x - \tg x}{2} \Rightarrow \cotg 2x = \displaystyle\frac{2 - \displaystyle\frac{1}{2} }{2} =\displaystyle \frac{5}{4}[/tex]
[tex]MK = 8.\cotg 2x \Leftrightarrow MK = 8. \frac{5}{4} \Rightarrow[/tex]
$$MK = 10$$

Скрит текст: покажи

Не мисля,че има някаква "хитрост".Трябват ти само знания и опит

[Владимир]

Надявах се да има някакъв по-лесен/кратък начин
Много благодаря.

[S.B.]

Надявах се да има някакъв по-лесен/кратък начин
Много благодаря.

Съжалявам ако съм Ви разочаровала,но при наличието на два ъгъла в условието на задачата не може да не се използва тригонометрия в решението.

[Евва]

Малка корекция : cotg 2x=[tex]\frac{3}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] MK=6

Владимир ,бих Ви посъветвала да търсите връзка м/у даденото и това ,което се търси .

[S.B.]

Малка корекция : cotg 2x=[tex]\frac{3}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] MK=6

Естествено,че [tex]\cotg 2x = \frac{3}{4}[/tex] , а не [tex]\cotg 2x = \frac{5}{4}[/tex],
защото [tex]\displaystyle \frac{2 - \displaystyle \frac{1}{2} }{2} = \displaystyle \frac{3}{4} \ne \displaystyle \frac{5}{4}[/tex]
Благодаря за корекцията! Моя грешка!