Правоъгълник

[nikola.topalov]

В правоъгълника [tex]ABCD[/tex] точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] са средите съответно на [tex]BC[/tex] и [tex]DC[/tex]. Да се намери ъгълът между правите [tex]AP[/tex] и [tex]BQ[/tex], при условие че разстоянието от пресечната им точка до [tex]Q[/tex] е с дължина, два пъти по-малка от тази на [tex]AB[/tex].

[Евва]

Получих cos[tex]\alpha[/tex] = [tex]\frac{ \sqrt{10} }{10}[/tex] .
Греша ли ?

[Гост]

Толкова е!

[Евва]

Приех ,че АВ>ВС за правоъгълника ABCD .
Нека правите АР и BQ се пресичат в т.М .Означаваме АВ=2а ,ВС= 2b ,QM=a .
Нека правите AD и BQ се пресичат в т.L .
[tex]\angle[/tex]AMQ=[tex]\alpha[/tex]=?

[tex]\triangle[/tex]BCQ[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]DQL (2 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] BC=DL=2b и BQ=LQ (1)
[tex]\triangle[/tex]MBP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]AML (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{BP}{AL} =\frac{PM}{AM}[/tex] =[tex]\frac{BM}{ML}[/tex]; [tex]\frac{b}{4b}[/tex]=[tex]\frac{PM}{AM}[/tex]=[tex]\frac{BM}{MQ+QL}[/tex]
PM=[tex]\frac{AM}{4}[/tex] (2) и BM=[tex]\frac{MQ+LQ}{4}[/tex] ;от (1) ВМ=[tex]\frac{a+ВМ+а}{4}[/tex] ; ВМ=[tex]\frac{2a}{3}[/tex] (3)

Построяваме окр. K (Q ;a) , правата BL пресича K в точките М и Т .
BM.BT=[tex]BC^{2 }[/tex] ; [tex]\frac{2a}{3}[/tex]([tex]\frac{2a}{3}[/tex]+2a) =[tex](2b)^{2 }[/tex] ; намираме b=[tex]\frac{2a}{3}[/tex] (4)

([tex]\triangle[/tex]ABP- правоъгълен) [tex]AB^{2 }+BP^{2}=AP^{2}[/tex] ; 4[tex]a^{2 }[/tex]+[tex]b^{2 }[/tex]=[tex](AM+PM)^{2 }[/tex] [ от (2) и (4) ]
4[tex]a^{2 }[/tex]+[tex]\frac{4 a^{2 } }{9}[/tex] =([tex]\frac{5AM}{4}) ^{2 }[/tex] ; AM=[tex]\frac{8 \sqrt{2} a}{3 \sqrt{5} }[/tex] (5)

([tex]\triangle[/tex]AQD-правоъгълен) [tex]AQ^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 }+4b^{2}[/tex] =[tex]a^{2 }[/tex]+4.[tex]\frac{4 a^{2 } }{9}[/tex] ; [tex]AQ^{2 }[/tex] =[tex]\frac{25 a^{2 } }{9}[/tex] (6)

([tex]\triangle[/tex]AMQ-cos T) [tex]AQ^{2 }[/tex]=[tex]AM^{2 }+QM^{2}[/tex] -2AM.QMcos[tex]\alpha[/tex]

[tex]\frac{25 a^{2 } }{9}[/tex] =[tex]\frac{128 a^{2 } }{45}[/tex] +[tex]a^{2 }[/tex] -2a.[tex]\frac{8 \sqrt{2}.a }{3 \sqrt{5} }[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]

[tex]\frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} }[/tex] .[tex]\frac{16 \sqrt{2}. a^{2 } }{3 \sqrt{5} }[/tex].cos[tex]\alpha[/tex] =[tex]\frac{(128+45-125) а^{2 } }{45}[/tex]

cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{48.3 \sqrt{10} }{45.16.2}[/tex]

cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{10} }{10}[/tex]

Скрит текст: покажи

Не се сещам как да продължа .

[stefanb]

IMG20230325091415.jpg (162.44 KiB) Прегледано 276 пъти

Получих същото. Прилагам моето решение. От тук нататък arccos или arcsin.