Равнобедрен трапец

[Гост]

Равнобедрен трапец с основи 32 см и 18 см е описана около окръжност. Намерете радиуса й.

[S.B.]

Равнобедрен трапец с основи 32 см и 18 см е описана около окръжност. Намерете радиуса й.

Без заглавие - 2023-04-14T073259.557.png (236.09 KiB) Прегледано 1286 пъти

Окръжността се допира до средите на основите $AB$ и $DC$ съответно в точки $M$ и $N$, а до бедрото $BC$ в т. $T$
Центърът $O$ се явява пресечна точка на ъглополовящите на прилежащите ъгли [tex]\angle ABC[/tex] и [tex]\angle DCB[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle BOC = 90 ^\circ \Leftrightarrow \triangle BOC[/tex] е правоъгълен.
[tex]OT \bot BC \Rightarrow OT = r[/tex] е негова височина към хипотенузата $BC$
От свойството на допирателните от външна точка към окръжност имаме $MB = BT = 16$ и $NC = CT= 9$
Тогава от метричните свойства на правоъгълния [tex]\triangle BOC[/tex] получаваме:
[tex]OT^{2 } = BT.CT \Leftrightarrow r^{2 } = 16.9 \Leftrightarrow r^{2 } = 4^{2 }. 3^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow r = 12$$