Вписан четириъгълник и ортоцентрове

[nikola.topalov]

Четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] ([tex]\measuredangle ADC\neq 90^\circ[/tex]) е вписан в окръжност, а точките [tex]H_1[/tex] и [tex]H_2[/tex] са ортоцентровете съответно на [tex]\triangle ACD[/tex] и [tex]\triangle ABC[/tex]. Да се докаже, че [tex]BH_1[/tex] разполовява отсечката [tex]DH_2[/tex].

[Гост]

interesna zadachka...stava s dva reda, ako znaesh kompleksni chisla...

[stefanb]

[tex]\angle[/tex]

ок..png (653.46 KiB) Прегледано 1308 пъти

DH1[tex]\bot[/tex]AC
BH2[tex]\bot[/tex]AC
[tex]\Rightarrow[/tex] DH1IIBH2
[tex]\angle[/tex]AH1G=[tex]\angle[/tex]ACD=[tex]\angle[/tex]DH1I взаимно[tex]\bot[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle[/tex]IDH1=90-[tex]\angle[/tex]ACD
[tex]\angle[/tex]H1DB=[tex]\angle[/tex]IDH1-[tex]\angle[/tex]CDB=90-([tex]\angle[/tex]ACD+[tex]\angle[/tex]CDB)
аналогично
[tex]\angle[/tex]DBF=90-([tex]\angle[/tex]DBA+[tex]\angle[/tex]CAB)
равни дъги - равни хорди (това е излишно)
90- AD+BC равно ли е на 90-AD+BC
равно е

[stefanb]

[tex]\angle[/tex]

ок..png

DH1[tex]\bot[/tex]AC
BH2[tex]\bot[/tex]AC
[tex]\Rightarrow[/tex] DH1IIBH2
[tex]\angle[/tex]AH1G=[tex]\angle[/tex]ACD=[tex]\angle[/tex]DH1I взаимно[tex]\bot[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle[/tex]IDH1=90-[tex]\angle[/tex]ACD
[tex]\angle[/tex]H1DB=[tex]\angle[/tex]IDH1-[tex]\angle[/tex]CDB=90-([tex]\angle[/tex]ACD+[tex]\angle[/tex]CDB)
аналогично
[tex]\angle[/tex]DBF=90-([tex]\angle[/tex]DBA+[tex]\angle[/tex]CAB)
равни дъги - равни хорди (това е излишно)
90- AD+BC равно ли е на 90-AD+BC
равно е

Това не е решение . Не знам как да го махна.

[stefanb]

продължавам нататък. Няма да пиша [tex]\angle[/tex] понеже са само ъгли.
ACH1=90-DAC
FBC=90-ACB
CBH2=180-FBC=90+ACB
BH2C=BAC
BCH2=180-CBH2-BH2C=180-90-ACB-BAC=ABC-90
H1CH2=ACH1+ACB+BCH2=...=DCB
[tex]\Rightarrow[/tex]DCH1=BCH2
CH2[tex]\bot[/tex]AB
AH2[tex]\bot[/tex]CB
[tex]\Rightarrow[/tex]AH2C=180-ABC
AH2F=AH2C-FH2C=180-ABC-BAC=ACB
ПОСТР. ОКР. К2ПРЕЗ Т. H1, H2 ,C
H1AH2=H1AC+CAH2H1AC=90-AH1G=90-ACD
ACH2=ACB+BCH2=ACB+ABC-90
CAH2=180-ACH2-AH2C=...=90-ACB
H1AH2=...180-DCB
[tex]\Rightarrow[/tex]т. А лежи в окр. К2
[tex]\Rightarrow[/tex]H1H2A=H1CA=90-CAD
H1H2B=AH2F-H1H2A=ACB-90+CAD
H1DB-H1H2B=....=0
[tex]\Rightarrow[/tex]H1H2BD е успоредник и диаг. му, се разполовяват

[stefanb]

вп.11.png (696.88 KiB) Прегледано 1258 пъти