Четириъгълник вписан в окръжност

[Гост]

Благодаря предварително

[peyo]

Благодаря предварително

Ок, внимавайте сега, това ще е по-сложно от необходимото, малко смешно и няма да може да се препише за домашното. Приятно четене!

Да намерим координатите на точките в 2D пространството:

A=(0,0)
B=(8,0)
C=(c_x,c_y)
D=(d_x,d_y)

Да направим малко уравнения:
# BC=sqrt(51) ->
(c_x-8)**2 + (c_y-0)**2 = sqrt(51)**2

# CD=6 ->
(c_x-d_x)**2 + (c_y-d_y)**2 = 6**2

# AD=7 ->
d_x**2 + d_y**2 = 7**2

#всички точки лежат на окръжност с център (k_x,k_y) и радиус R
(k_x-0)**2 + (k_y-0)**2 = R**2
(k_x-8)**2 + (k_y-0)**2 = R**2
(k_x-c_x)**2 + (k_y-c_y)**2 = R**2
(k_x-d_x)**2 + (k_y-d_y)**2 = R**2

Тук за наша радост забелязваме, че имаме 7 уравнения със 7 неизвестни, което е възможно най-доброто съотношение между уравнения и неизвестни на света!

Код: Избери целия код

var("c_x,c_y,d_x,d_y,k_x,k_y,R")

S = [Eq((c_x-8)**2 + (c_y-0)**2 , sqrt(51)**2)  ,
Eq((c_x-d_x)**2 + (c_y-d_y)**2 , 6**2)  ,
Eq(d_x**2 + d_y**2 , 7**2),
Eq((k_x-0)**2 + (k_y-0)**2 , R**2),
Eq((k_x-8)**2 + (k_y-0)**2 , R**2),
Eq((k_x-c_x)**2 + (k_y-c_y)**2 , R**2),
Eq((k_x-d_x)**2 + (k_y-d_y)**2 , R**2)]

def system_to_latex(*equations):
    n = len(equations)
    if n == 0:
        return ""
    l1 = r"\left\{\begin{matrix}%s\end{matrix}\right."
    l2 = r" \\ ".join(latex(eq) for eq in equations)
    return l1 % l2

print(system_to_latex(*S))

$\left\{\begin{matrix}c_{y}^{2} + \left(c_{x} - 8\right)^{2} = 51 \\ \left(c_{x} - d_{x}\right)^{2} + \left(c_{y} - d_{y}\right)^{2} = 36 \\ d_{x}^{2} + d_{y}^{2} = 49 \\ k_{x}^{2} + k_{y}^{2} = R^{2} \\ k_{y}^{2} + \left(k_{x} - 8\right)^{2} = R^{2} \\ \left(- c_{x} + k_{x}\right)^{2} + \left(- c_{y} + k_{y}\right)^{2} = R^{2} \\ \left(- d_{x} + k_{x}\right)^{2} + \left(- d_{y} + k_{y}\right)^{2} = R^{2}\end{matrix}\right.$

Да решим системата по метода на най-лесното решение (като накараме компютъра да я реши):

Код: Избери целия код

for r in solve(S):
    print("$",latex(r),"$")

$ \left \{ R : -5, \quad c_{x} : - \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad c_{y} : - \frac{153}{50} + \frac{14 \sqrt{51}}{25}, \quad d_{x} : \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad d_{y} : - \frac{147}{50} + \frac{14 \sqrt{51}}{25}, \quad k_{x} : 4, \quad k_{y} : -3\right \} $
$ \left \{ R : -5, \quad c_{x} : - \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad c_{y} : - \frac{14 \sqrt{51}}{25} + \frac{153}{50}, \quad d_{x} : \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad d_{y} : - \frac{14 \sqrt{51}}{25} + \frac{147}{50}, \quad k_{x} : 4, \quad k_{y} : 3\right \} $
$ \left \{ R : -5, \quad c_{x} : \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad c_{y} : \frac{153}{50} + \frac{14 \sqrt{51}}{25}, \quad d_{x} : - \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad d_{y} : \frac{147}{50} + \frac{14 \sqrt{51}}{25}, \quad k_{x} : 4, \quad k_{y} : 3\right \} $
$ \left \{ R : -5, \quad c_{x} : \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad c_{y} : - \frac{14 \sqrt{51}}{25} - \frac{153}{50}, \quad d_{x} : - \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad d_{y} : - \frac{14 \sqrt{51}}{25} - \frac{147}{50}, \quad k_{x} : 4, \quad k_{y} : -3\right \} $
$ \left \{ R : 5, \quad c_{x} : - \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad c_{y} : - \frac{153}{50} + \frac{14 \sqrt{51}}{25}, \quad d_{x} : \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad d_{y} : - \frac{147}{50} + \frac{14 \sqrt{51}}{25}, \quad k_{x} : 4, \quad k_{y} : -3\right \} $
$ \left \{ R : 5, \quad c_{x} : - \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad c_{y} : - \frac{14 \sqrt{51}}{25} + \frac{153}{50}, \quad d_{x} : \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad d_{y} : - \frac{14 \sqrt{51}}{25} + \frac{147}{50}, \quad k_{x} : 4, \quad k_{y} : 3\right \} $
$ \left \{ R : 5, \quad c_{x} : \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad c_{y} : \frac{153}{50} + \frac{14 \sqrt{51}}{25}, \quad d_{x} : - \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad d_{y} : \frac{147}{50} + \frac{14 \sqrt{51}}{25}, \quad k_{x} : 4, \quad k_{y} : 3\right \} $
$ \left \{ R : 5, \quad c_{x} : \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad c_{y} : - \frac{14 \sqrt{51}}{25} - \frac{153}{50}, \quad d_{x} : - \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad d_{y} : - \frac{14 \sqrt{51}}{25} - \frac{147}{50}, \quad k_{x} : 4, \quad k_{y} : -3\right \} $

(компютрите обичат да решават системи)

Само един отговор в 1-ви квадрант с положителен радиус имаме, значи това ще е нашето най-добро решение, а всички останали за нищо не стават:

$ \left \{ R : 5, \quad c_{x} : - \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad c_{y} : - \frac{14 \sqrt{51}}{25} + \frac{153}{50}, \quad d_{x} : \frac{21 \sqrt{51}}{50} + \frac{98}{25}, \quad d_{y} : - \frac{14 \sqrt{51}}{25} + \frac{147}{50}, \quad k_{x} : 4, \quad k_{y} : 3\right \} $

И всички стойности са даже положителни:
In [26]: print(list(map(float,solve(S)[6].values())))
[5.0, 6.919399939987997, 7.059199919983996, 0.920600060012003, 6.939199919983996, 4.0, 3.0]

Вече имаме достатъчно данни да направим точно построение в Geogebra (тук направихме свръх точно построение по метода на линията и пергела):

geogebra-export(43).png (1.2 MiB) Прегледано 1267 пъти

Където виждаме, че CM=3 и MD=3 , значи:

CM:MD=1

[Гост]

Евалата peyo!Успя да докажеш,че вписан четириъгълник с различни дължини на страните е равнобедрен трапец!