Правилен [tex]n[/tex]-ъгълник - екстремална задача

[nikola.topalov]

Даден е правилен [tex]n-[/tex]ъгълник [tex]A_1A_2\dots A_n[/tex] ([tex]n\geq 3[/tex]) и точката [tex]X[/tex] е произволна точка в пространството. Да се намери възможно най-малката стойност на $$\sum_{i=1}^n |XA_i|^p$$ където [tex]p[/tex] е естествено число.

[ptj]

[tex]\sqrt[p]{ \frac{\sum_{i=1}^n |XA_i|^p}{n} } \ge \frac{\sum_{i=1}^n |XA_i|}{n}[/tex]

Равенство се достига, когато X e център на описаната за правилния n-ъгълник окръжност.
Остава да се докаже, че тогава сумата от разстоянията до върховете също е минимална.

П.П. Обосновката на последния ред за правилен многоъгълник при четно [tex]n[/tex] e тривиална (чрез неравенство на триъгълника) , по интересен е случая за нечетно [tex]n[/tex].

[Румен Симеонов]

.

[grav]

... следва, че
$\forall k=1,...,N$,
$f'_{x_k}(X)=x_k.2\Sigma_{i=0}^n((\vec{A_iX})^2)^{p/2-1}$.
...

Това как точно следва!

Никъде в решението ти не се изпозва, че имаш правилен многоъгълник!

пп: Не е важно но това [tex]\Sigma_{i=0}^n (\vec{A_iX})^2[/tex] написано така [tex]\sum_{i=0}^n (\overrightarrow{A_iX})^2[/tex] изглежда по-добре.

[grav]

Ясно е, че точката трябва да е в равнината. В противен случай проекцията и в равнината ще има израз с по-малко стойност. Също трябва да е вътрешна.

Нека разстоянието от центъра до върховете на многоъгълника да е [tex]r[/tex], а разстоянието от центъра до [tex]X[/tex] да е [tex]a[/tex], и ъгълът до най-близкия радиус да е [tex]\varphi[/tex]. Тогава останаллите ъгли са [tex]\varphi+\frac{2\pi k}n[/tex]. От косиносувата теорема, за случая [tex]p=2[/tex], имаме

[tex]\sum_{i=1}^n |XA_i|^2 = \sum_{k=0}^{n-1} \left(a^2+r^2-2ar\cos\left(\varphi+\frac{2\pi k}n\right)\right) = n(a^2+r^2).[/tex]

Защото [tex]\sum_{k=0}^{n-1}\cos\left(\varphi+\frac{2\pi k}n\right) = 0.[/tex]

От където се вижда, че минимума е се достига когато точката съвпада с центъра.

Последното може да се покаже като се разгледа подобната сума със синусите уможена по [tex]i[/tex], тогава всяка от сумите е реалната и имагенерната част на геометрична прогресия, която се смята директно.


Тази идея работи за произволно четно [tex]p[/tex], за нечетните предполагам също, но трябва да се изпозва биномния ред. Предполагам, че има по-лесно решение защото за [tex]p\not = 2[/tex] трябва дас е изпозват изразите за [tex]\cos^m\left(\varphi+\frac{2\pi k}n\right)[/tex].

[Румен Симеонов]

... следва, че
$\forall k=1,...,N$,
$f'_{x_k}(X)=x_k.2\Sigma_{i=0}^n((\vec{A_iX})^2)^{p/2-1}$.
...

Това как точно следва!

Никъде в решението ти не се изпозва, че имаш правилен многоъгълник!

пп: Не е важно но това [tex]\Sigma_{i=0}^n (\vec{A_iX})^2[/tex] написано така [tex]\sum_{i=0}^n (\overrightarrow{A_iX})^2[/tex] изглежда по-добре.

Благодаря, наистина имах (техническа) грешка. Верният израз за производната по $x_k$ не е

$f'_{x_k}(X)=x_k.2\Sigma_{i=0}^n((\vec{A_iX})^2)^{p/2-1}$.

Верният израз за $f'_{x_k}$ е:

$f'_{x_k}(X)=е_k.2\Sigma_{i=0}^n((\vec{A_iX})^2)^{p/2-1}\vec{A_iX}$, където $e_k=(0,...,1_k,...,0)$ са координатните единични вектори.

[Румен Симеонов]

[

..., наистина имах (техническа) грешка. Верният израз за производната по $x_k$ не е

$f'_{x_k}(X)=x_k.2\Sigma_{i=0}^n((\vec{A_iX})^2)^{p/2-1}$.

Верният израз за $f'_{x_k}$ е:

$f'_{x_k}(X)=е_k.2\Sigma_{i=0}^n((\vec{A_iX})^2)^{p/2-1}\vec{A_iX}$, където $e_k=(0,...,1_k,...,0)$ са координатните единични вектори.

и пак съм изпуснал един множител $p/2$, та става:
$f'_{x_k}(X)=е_k.p\Sigma_{i=1}^n((\vec{A_iX})^2)^{p/2-1}\vec{A_iX}$.
Съответно, следва, че екстремните точки освен $O$ и $A_i$, а и те са кандидати само при $0<p<2$, са точките $X$, за които:
$X=\Sigma_{i=1}^n|X-A_i|^{p-2}A_i/\sigma$,
където
$\sigma:=\Sigma_{i=1}^n|X -A_i|^{p-2}$,
като хипотезата е, че освен $A_i$ кандидат за точка на достигане на минимум е всъщност само $X=O$, с което отговорът би станал (записан без опростяване):
$min\{ nr^p, \Sigma_{i=2}^n|A_iA_1|^{p}\}$, ако $0<p<2$
и
$nr^p$, ако $p\geqq2$.
Хипотезата е очевидно вярна при $p=2$, с което поне случаят $p=2$ е завършен.
Изглежда хипотезата лесно следва (че наистина е вярно твърдение), като се пресметне производната спрямо $\rho$ на израза $f(\rho e^{i\theta})$ и се види, че тя не може да е нула за екстремна точка различна от $O$ и $A_i$, която е кандидат за достигане в нея на минимум на_f(X)$.

[Румен Симеонов]

..., наистина имах (техническа) грешка. Верният израз за производната по $x_k$ не е

$f'_{x_k}(X)=x_k.2\Sigma_{i=0}^n((\vec{A_iX})^2)^{p/2-1}$.

Верният израз за $f'_{x_k}$ е:

$f'_{x_k}(X)=е_k.2\Sigma_{i=0}^n((\vec{A_iX})^2)^{p/2-1}\vec{A_iX}$, където $e_k=(0,...,1_k,...,0)$ са координатните единични вектори.

и пак съм изпуснал един множител $p/2$, та става:
$f'_{x_k}(X)=е_k.p\Sigma_{i=1}^n((\vec{A_iX})^2)^{p/2-1}\vec{A_iX}$.
Съответно, следва, че екстремните точки освен $O$ и $A_i$, а и те са кандидати само при $0<p<2$, са точките $X$, за които:
$X=\Sigma_{i=1}^n|X-A_i|^{p-2}A_i/\sigma$,
където
$\sigma:=\Sigma_{i=1}^n|X -A_i|^{p-2}$,
като хипотезата е, че освен $A_i$ кандидат за точка на достигане на минимум е всъщност само $X=O$, с което отговорът би станал (записан без опростяване):
$min\{ nr^p, \Sigma_{i=2}^n|A_iA_1|^{p}\}$, ако $0<p<2$
и
$nr^p$, ако $p\geqq2$.
Хипотезата е очевидно вярна при $p=2$, с което поне случаят $p=2$ е завършен.
Изглежда хипотезата лесно следва (че наистина е вярно твърдение), като се пресметне производната спрямо $\rho$ на израза $f(\rho e^{i\theta})$ и се види, че тя не може да е нула за екстремна точка различна от $O$ и $A_i$, която е кандидат за достигане в нея на минимум на_f(X)$.[/quote]

ОКОНЧАТЕЛНО РЕШЕНИЕ:
Да, така е. Нека $p=1$. По ро 1-вата производна в нулата е нула, а втората е по-голяма от нула за $0<\rho<r$. Следва, дори за произволно реално $p\geqq1$, а не само за естествени числа, че. минимум се достига единствено в т. $O$ и той е $nr^p$. Сега остава да приложим за произволно
реално (не непременно естествено) $p>1$ неравенството на Хьолдер, както ни научи pth - виж по-горе, и получаваме и за общия случай на реално $p\geqq1$ минимум $nr^p$, който се достига само в $X=O$.

[Гост]

kude e X, kogi poligonat e nepravilen?

[Румен Симеонов]

$f(X):=\sum_{i=1}^n |A_iX|^p$