Ойлер или Силвестър-Хамилтън

[Румен Симеонов]

Задачката е историко-математическа.
Изяснете как Ойлер е доказал, че центровете $H, G, O$ лежат на една права и не е ли доказал, че $G$ дели $HO$ в отношение 2:1 - впрочем същото отношение, в което същата $G$ дели и медианите, така, че, това деление 2:1 на $HO$ наистина ли е теорема принадлежаща на много по-младите Силвестър и Хамилтън. Нима никой преди тях, а и досега, не е видял това, което аз виждам:

колинеарността на точките следва от съотношението
$|HG|:|GO|=2:1$ , а то (даже заедно с колинеарността) автоматично следва/т от $|CH|=2|OZ|$ с едно просто подобие на триъгълници.

Нима е истина, че:

Discovering the Euler line required a flash of insight.

взето оттук:
https://www.johndcook.com/blog/2023/01/09/euler-line/
(където, впрочем, се твърди, че било очевидно едно доказателство с едни страховити детерминанти)?
Нима $|CH|=2|OZ|$ не е било известно на Ойлер и той не го ли е използвал в своето доказателство?

[Румен Симеонов]

Виж и тук:
https://www.johndcook.com/blog/2023/01/09/euler-line/

[Румен Симеонов]

Силвестър:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sylvest ... le_problem

[Румен Симеонов]

Хамилтън:
https://bg.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9E% ... 0%B2%D0%B0

[Румен Симеонов]

Виж и тук:
https://artofproblemsolving.com/wiki/in ... Euler_line

[Румен Симеонов]

Откриваемите в интернет доказателства, че медицентърът $G$ на един триъгълник $ABC$ съвпада с точката деляща $HO$ в отношение 2:1 са все още доста сложни и, което е по-важното, изхождат от това, че вече се знае какво отношение (2:1) трябва да докажем, поради което изхождайки от $O$ - центъра на описаната окръжност се построява точка $H$ на правата $GO$, която е от другата страна на $G$ и $|HG|=2|GO|$, след което се доказва, че именно така построената точка $H$ лежи и на трите височини. Съответно, не се изисква предварително доказване, че трите височини се пресичат в една точка. Виж, например, тук: https://proofwiki.org/wiki/Position_of_ ... Euler_Line. Аз, обаче, намирам такова едно доказателство за доста изкуствено. Предпочитам да дам мое доказателство (на Р. Симеонов от 24.07.2023г.), в което си задаваме въпроса в какво отношение пресечната точка $P$ на $HO$ с всяка от медианите (достатъчно е да разгредам пресичане с медианата $CC_1$, в друг пост обозначавах $C_1$ с $Z$) дели медианата от върха към средата на отсрещната страна, както и дели, в същото отношение, отсечката $HO$ от $H$ към $O$. За целта, естествено пожелаваме да намерим поотделно $|CH|$ и $|OC_1|$, откъдето и $|CH|:|OC_1|$, което се оказва $2$. Съответно, предварително доказваме, много лесно, че височините се пресичат в една точка, която именно обозначаваме с $H$. Разбира се, ползваме още по-предварително доказано, че симетралите на страните се пресичат в една и съща точка $O$, което е очевидно (за всеки триъгълник). Пресичането в една точка на правите на височините в триъгълник $ABC$ следва от пресичането на симетралите на страните на триъгълник $A_2B_2C_2$, който така построяваме, че симетралите на страните му са всъщност въпросните прави на височините на триъгълника $ABC$. А именно, с хомотетия с център медицентъра $G$ на триъгълника $ABC$ и коефициент $4$ разтягаме триъгълника $A_1B_1C_1$ с върхове $A_1, B_1, C_1$ - съответно средите на страните $BC, CA, AB$ на триъгълника $ABC$, до триъгълник $A_2B_2C_2$, за който лесно доказваме, че $A_2B_2||AB, B_2C_2||BC, C_2A_2||CA$, при което, лесно доказваме и, че $A, B, C$ - са съответно средите на страните $B_2C_2, C_2A_2, A_2B_2$. Така е доказано, че височините на триъгълника $ABC$ се пресичат в една точка, която обозначаваме с $H$. Прекарваме височините $CHC'$ и $АHA'$. От правоъгълните триъгълници $HA'C$ и $AA'C$, понеже $\sphericalangle HCA'$=$\pi/2-\sphericalangle ABC$, следва, като използваме и синусовата теорема $b=2Rsin(\beta)$, че $|CH|=|CA'|/cos(π/2-\beta)=|CA|cos(\gamma)/sin(\beta)=2Rcos(\gamma)$. От правоъгълния триъгълник $AOC_1$, от който следва и синусовата теорема, която използвахме (в случая за страната $c$), тъй като $\sphericalangle AOC_1=\gamma$, следва, че $|OC_1|=Rcos(\gamma)$. Съпоставяйки, получаваме, че $|CH|:|OC_1|=2$. От подобните триъгълници $CHP\approx C_1OP$ следва, че, наистина, $P$ дели медианата $CC_1$ в отношение $2:1$, както и $HO$ - в същото отношение $2:1$. От първото следва, че $P$ съвпада с $G$, откъдето и от второто следва, че $G$ лежи на отсечката $HO$ и я дели в отношение $2:1$. Горните разсъждения, включително и изводът на $|CH|=2R|cos(\gamma)|$ и на $|OC_1|=R|cos(\gamma)|$ със съответни уточнения на знаците и положенията на точките важат не само за остроъгълни триъгълници и отново е валидно, за всички случаи, че $|CH|:|OC_1|=2$ и отново следва, вече валидно, за всички случаи, че $G$ е между $H$ и $O$. и $HG:GO=2:1$. Всъщност, горното доказателство става още много по-просто, ако за намирането на $|CH|=2Rcos(\gamma)$ се възползваме от намирането на $|OC_1|=Rcos(\gamma)$, но приложено за триъгълника $A_2B_2C_2$.

[Румен Симеонов]

Хамилтън:
https://bg.m.wikipedia.org/wiki/%D0%9E% ... 0%B2%D0%B0

По-правилно произношение, а от там и превод: Хамълтън
https://bg.forvo.com/word/hamilton/#es