Успоредник

[Гост]

Лицето на успоредника ABCD е 128. Страната AD е 12. Ъгълът между диагоналите е φ = 45°. Колко е периметъра?

[stefanb]

usp.png (244.66 KiB) Прегледано 1322 пъти

AB=CD=x
[tex]\triangle[/tex]BCE
[tex]d1^{2 }[/tex]/4+[tex]d2^{2 }[/tex]/4-d1.d2cos45/2=144
[tex]\triangle[/tex]DEC
[tex]d1^{2 }[/tex]/4+[tex]d2^{2 }[/tex]/4+d1.d2cos45/2=[tex]x^{2 }[/tex]
[tex]x^{2 }[/tex]-144=d1.d2cos45
но d1.d2.sin45/2=128
d1d2=256/sin45
[tex]x^{2 }[/tex]-144=256cotg45
x=20

[S.B.]

["Гост"]Лицето на успоредника ABCD е 128. Страната AD е 12. Ъгълът между диагоналите е φ = 45°. Колко е периметъра?[/quote]

Без заглавие (1).png (216.07 KiB) Прегледано 1312 пъти

А ето и още един поглед върху задачата:
[tex]AC \cap BD = O[/tex]
Нека $AB = a, AC = 2x ,BD = 2y$
[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}.sin 45 ^\circ \Leftrightarrow \frac{2x.2y}{2} \frac{ \sqrt{2} }{2} = 128 \Rightarrow xy \sqrt{2}= 128[/tex]
За [tex]\triangle AOD[/tex] прилагам Косинусова теорема :
[tex]AD^{2 } = AO^{2 } + DO^{2 } - 2AD.OD.\cos 45 ^\circ \Leftrightarrow 12^{2 } = x^{2 } + y^{2 }- 2xy. \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]

За [tex]\triangle AOB[/tex] прилагам Косинусова теорема :
[tex]AB^{2 } = AO^{2 } + BO^{2 } - 2.AO.BO.\cos 135 ^\circ \Leftrightarrow a^{2 } = x^{2 } + y^{2 } + 2.xy. \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]

Образувам система:
[tex]\begin{array}{|l} xy \sqrt{2} = 128 \\ 12^{2 } = x^{2 } + y^{2 } - xy \sqrt{2}\\ a^{2 } = x^{2 }+ y^{2 }+ xy \sqrt{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 144 = x^{2 } + y^{2 } - 128 \\ a^{2 } = x^{2 }+ y^{2 } + 128 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x^{2 }+ y^{2 } = 272 \\ a^{2 }= x^{2 } + y^{2 } + 128\end{array} \Leftrightarrow a^{2 } = 272 + 128[/tex]
[tex]\Rightarrow a^{2 } = 400 , a> 0 \Rightarrow a = 20[/tex]

$$P_{ABCD } = 2.12 + 2.20 \Rightarrow P_{ABCD } = 64$$