Четириъгълник

[nikola.topalov]

Точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са средите на страните [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] на четириъгълника [tex]ABCD[/tex]. Да се намери лицето му, ако [tex]MN=8[/tex], [tex]AC=14[/tex] и ъгълът между правите [tex]DB[/tex] и [tex]MN[/tex] е [tex]60^\circ[/tex].

[Евва]

Получавам 40[tex]\sqrt{3}[/tex] .

[nikola.topalov]

Има и още един отговор.

[Евва]

24[tex]\sqrt{3}[/tex] ли е другия отговор ?

[Евва]

Означаваме с т.Р ,т.Е и т.F съответно пресечните точки на отсечките DB и MN , AC и MN , AC и DB .
Образува се [tex]\triangle[/tex]EFP с [tex]\angle[/tex]EPF=60[tex]^\circ[/tex] ,нека [tex]\angle[/tex]EFP=[tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]AEM=120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]

[tex]S_{ABCD }= S_{ABD } + S_{BCD } = 2S_{MBD } +2 S_{BND } = 2 S_{MBND }[/tex]= 2.[tex]\frac{MN.BDsin60 ^\circ }{2}[/tex] =8BD.[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]= 4[tex]\sqrt{3}[/tex]BD

[tex]S_{ABCD }[/tex] =[tex]\frac{AC.BDsin \beta }{2} = \frac{14BDsin \beta }{2}[/tex]= 7BDsin[tex]\beta[/tex]
Следователно 4[tex]\sqrt{3}[/tex]BD=7BDsin[tex]\beta[/tex] ; sin[tex]\beta[/tex]= [tex]\frac{4 \sqrt{3} }{7}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\beta[/tex] =[tex]\frac{1}{7}[/tex] (1) ,или (по подсказка) cos[tex]\beta[/tex]= -[tex]\frac{1}{7}[/tex] (2)

[tex]S_{ABCD }= 2 S_{AMCN }[/tex] =2.[tex]\frac{MN.ACsin(120 ^\circ - \beta) }{2}[/tex] =8.14( sin120[tex]^\circ[/tex]cos[tex]\beta[/tex] -cos120[tex]^\circ[/tex]sin[tex]\beta[/tex])

1 сл. [tex]S_{ABCD }[/tex]=8.14( [tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}. \frac{1}{7} - (- \frac{1}{2}) \frac{4 \sqrt{3} }{7}[/tex]) = 8.14.[tex]\frac{5 \sqrt{3} }{14}[/tex] = 40[tex]\sqrt{3}[/tex]

2 сл. [tex]S_{ABCD }[/tex]=8.14( [tex]\frac{ \sqrt{3} }{2} ( - \frac{1}{7}) - (- \frac{1}{2}) \frac{4 \sqrt{3} }{7}[/tex]) = 8.14.[tex]\frac{3 \sqrt{3} }{14}[/tex] =24[tex]\sqrt{3}[/tex]